畢達哥拉斯質數

畢達哥拉斯質數是指可以表示為4n + 1形式的質數，若直角三角形的三邊均為整數，斜邊為質數，其斜邊的邊長即為畢達哥拉斯質數。

前幾個畢達哥拉斯質數為

5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, 97, 101, 109, 113, … （OEIS數列A002144）.

費馬平方和定理陳述，畢達哥拉斯質數可以表示為二個平方數的和，其他質數除了2以外（2=1²+1²）都不能表示為二個平方數的和。畢達哥拉斯質數及2會在高斯整數的範數中出現，其他的質數不會是高斯整數的範數。

畢達哥拉斯質數可以表示為一個奇數的平方數與一個偶數的平方數的和：畢達哥拉斯質數是可以表示為a²+4b²形式的質數。

依照二次互反律陳述，若p及q為奇質數，其中至少有一個為畢達哥拉斯質數，則 p是模q的二次剩餘的充份必要條件是q是模p的二次剩餘 。相反的，若p及q都不是畢達哥拉斯質數，則p是模q的二次剩餘的充份必要條件是q不是模p的二次剩餘。−1是是模p的二次剩餘的充份必要條件是p是畢達哥拉斯質數（或2）。

在p為畢達哥拉斯質數的域Z/p中，多項式x^2 = -1有二個解。