病態 (數學)

數學中,病態(英語:Pathological)現象是指其性質被認為是非典型的或反直覺的現象,反義詞為良態(Well-behaved)。

魏爾斯特拉斯函數是無處不連續的,但任何一處都不可微

在分析學中

一個經典的例子的病態結構是魏爾斯特拉斯函數,它處處連續但處處不可微。可微函數和魏爾斯特拉斯函數的總和也是連續的,但是無處可微;所以這種函數至少與可微函數一樣多。事實上,由貝爾綱定理之一可以顯示,連續函數通常是無處可微的。

通俗地說,大多數函數都不可微,而且相對較少的函數可以被描述或研究。一般而言,大多數實用的函數也具有某種物理基礎或實際應用,這意味着它們在理論數學或邏輯層面上不能是病態的;如果沒有像狄拉克δ函數那樣的某些限制性情況,它們往往表現得非常正態,直觀。引用龐加萊的話:

有時,邏輯生出妖怪。近半世紀,怪誕的函數異軍突起,竭力標奇立異,與實際有用的函數大相逕庭。其不再連續,甚或連續但不可導,如此種種。誠然,以邏輯觀之,該等怪異函數纔是最普遍;相反,以簡單法則定義,無需刻意尋找的函數,反倒是特例,僅佔牆隅立錐之地。

以前,發明新函數,是為實用;今時,則祗為刻意突顯先賢的邏輯缺陷,此外別無他用。

師者若祗以邏輯為綱領,則必由最普遍的函數開始教授,亦即最怪異的函數。如此,學生初學已須勉強面對整座畸形學博物館(musée tératologique);否則,邏輯學家會挑剔你僅逐步邁向嚴謹。

——Henri Poincaré[1],1899

這突出表明,該術語「病態」是主觀的,依賴於語境,並且正在逐漸消失。它在任何特定情況下的含義都存在於數學家群體中,而不一定在數學本身中。此外,引文顯示數學經常如何通過反例進展到直覺或預期結果;例如所提到的「不可導」與目前對太陽等離子體中磁重聯事件的研究密切相關。

在拓撲學中

拓撲學中最臭名昭着的病態之一是亞歷山大帶角球英語Alexander horned sphere,這是一個反例,表明拓撲將球體S2嵌入R3中可能無法完全分離空間。作為反例,它激發了馴服(tameness)的額外條件,這抑制了帶角球所表現出的野性行為。

像許多其他病態一樣,帶角球在某種意義上是無限精細的遞歸生成結構,在極限情況下違反了普通的直覺。在這種情況下,在極限範圍內連續的球體互鎖環的不斷下降的鏈的拓撲結構完全反映了普通球體的拓撲結構,而期望值在嵌入之後它的外部表現相同。然而事實卻並非如此:它沒有單連通

對於基礎理論,請參閱喬登-薛弗利斯定理英語Schoenflies problem

在線性代數中

定義:如果線性方程組  中,A或b的元素的微小變化,會引起方程組解的巨大變化,則稱方程組為病態方程組,稱矩陣A為病態矩陣條件數可以用來衡量方程組的「病態」程度。[2]

一種常見的病態矩陣是n階希爾伯特矩陣,隨着階數n的增大,而呈現嚴重的病態。[2]

良態

數學家(以及相關科學家)經常談論一個數學物件函數集合,或任何空間)是否良態。該術語沒有固定的正式定義,而是取決於背景、數學興趣、時尚和品味。為了確保物件處在良態,數學家引入了進一步的公理來縮小研究領域。這有利於使分析更容易,但減少了所得結論的一般性。像非歐幾何這樣的概念曾被認為是不正常的,但現在已成為常見的研究物件。

在純數學和應用數學(例如最佳化數值積分數學物理學)中,良態也意味着研究對象滿足目前分析適用所需的一切假設。

相反的情況通常標記為病態的。在(基數測度意義下)大多數例子中,這種病態情況並不罕見,但除非故意構建,否則病態情況不會在實踐中出現。

術語「表現良好」(或良態)通常用於絕對意義上——要麼表現得好,要麼反之。例如:

雖然較少見,但該術語也可以比較方式使用:

病態實例

病態的實例通常具有一些不合乎需要或不尋常的特性,所以難以在理論中包含或解釋。這種病態行為常常引發新的研究,從而產生新的理論和更一般的結果。例如,一些重要的歷史例子如下:

在它們被發現時,這些實例被認為是高度病態的;今天,每個實例都被同化為現代數學理論了。這些例子促使他們的觀察者糾正他們的信仰或直覺;有時他們甚至可能需要重新評估基本定義和概念。在歷史的過程中,它們導致了更正確,更精確,更強大的數學。例如,狄利克雷函數勒貝格可積的,而測試函數的卷積適用於求出任何局部可積函數的平滑擬合(此處擬合是在局部可積函數的空間中,幾乎處處意義下)。

根據定義,行為是否是病態的,取決於個人的直覺。病態依賴於背景、培訓和經驗——一個研究人員看來是病態,很可能另一個人看來表現良好。

病態的例子可以說明假設在一個定理中的重要性。例如,在統計學中,即使柯西分佈的對稱鐘形看起來與許多分佈相似,它也不滿足中心極限定理;其平均值和標準偏差不存在(或非有限),所以不滿足定理的假設。

一些最著名的悖論巴拿赫-塔斯基悖論郝斯多夫悖論都基於不可測集的存在性。除非他們採取少數立場否認選擇公理,不然數學家一般都只能接受這些集合存在。[來源請求]

計算機科學

計算機科學中,「病態」對算法的研究略有不同。這裏,如果輸入(或輸入集合)引起來自算法的非典型行為,例如違反其平均情況複雜性或甚至其正確性,則稱輸入(或輸入集合)是病態的。例如,哈希表通常具有病態輸入:在哈希值上碰撞的鍵組。快速排序通常具有O(n log n)時間複雜度,但是當給定輸入觸發次優行為時惡化為O(n2 )。

這個術語經常作為一種拒絕輸入的方式作貶義使用,例如被專門設計來打破一個在實踐中聽起來很正常的慣例(與拜占庭將軍問題比較)。另一方面,對病態輸入的認識很重要,因為它們可被利用來對計算機系統進行拒絕服務攻擊。此外,這個意義上的術語與其他意義一樣是主觀判斷的問題。如果有足夠的運行時間,足夠大和多樣化的用戶群或其他因素,實際上可能會發生可被視為病態的輸入(如在亞利安5號第一次試飛中所見)。

特殊情況

一個類似但不同的現象是特殊物件(和異常的同構),當一般模式存在「少量」例外時——一定量地,對於無限規則的有限的例外集合。相比之下,在病態的情況下,通常大多數或幾乎所有的現象都是病態的,如普遍存在的那樣,例如幾乎所有的實數都是無理數。

主觀上,特殊情況(例如二十面體散在群)通常被認為是「美麗的」,一個理論的意外例子。而病態現象顧名思義通常被認為是「醜陋的」。因此,理論通常擴展到包括特殊物件——例如,單李代數被包含在半單李代數理論中:公理被認為是好的,特殊物件是意外但有效的。相比之下,病態的例子被用來指出公理中的一個缺點,需要更強的公理來排除它們 - 例如,要求在Schönflies問題中嵌入球體的馴化。人們可以研究更一般的理論,包括可以提供其自身簡化的病態(實數具有與有理數非常不同的屬性,同樣連續映射具有與平滑映射非常不同的屬性),但也將在一般情況下研究狹義的理論,從中得出原始的例子。

參考文獻

  1. ^ Poincaré, Henri. Science et méthode. 1908: 132–133 (法語). La logique parfois engendre des monstres. On vit surgir toute une foule de fonctions bizarres qui semblaient s'efforcer de ressembler aussi peu que possible aux honnêtes fonctions qui servent à quelque chose. Plus de continuité, ou bien de la continuité, mais pas de dérivées etc. Bien plus, au point de vue logique, ce sont ces fonctions étranges qui sont les plus générales, celles qu'on rencontre sans les avoir cherchées n'apparaissent plus que comme un cas particulier. Il ne leur reste qu'un tout petit coin.

    Autrefois, quand on inventait une fonction nouvelle, c'était en vue de quelque but pratique; aujourd'hui, on les invente tout exprès pour mettre en défaut les raisonnements de nos pères, et on n'en tirera jamais que cela.

    Si la logique était le seul guide du pédagogue, ce serait par les fonctions les plus générales, c'est-à-dire parles plus bizarres, qu'il faudrait commencer. C'est le débutant qu'il faudrait mettre aux prises avec ce musée tératologique. Si vous ne le faites pas, pourraient dire les logiciens, vous n'atteindrez la rigueur que par étapes. 

  2. ^ 2.0 2.1 張宏偉,金光日,施吉林,董波 (編). 计算机科学计算 2013年第2版. 北京: 高等教育出版社. 2005: 51–54. ISBN 9787040365955. 

外部連結

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