立方體半形
在抽象幾何學中，立方體半形是一種僅由一半數量的立方體面構成的抽象多面體。這個抽象多面體與立方體類似，它們的每個頂點都是3個正方形的公共頂點，然而立方體有6個面，而立方體半形僅有3個面；同時，這個立體無法嵌入在三維歐幾里得空間中[2]。在拓樸學上，其可以視為正四面體的皮特里對偶[3]。
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| 類別 | 抽象多胞形 射影多面體 | ||
|---|---|---|---|
| 對偶多面體 | 八面體半形[1] | ||
| 原像 | 立方體 （半形體） | ||
| 名稱 | 立方體半形 hemicube | ||
| 數學表示法 | |||
| 施萊夫利符號 | {4,3}/2 {4,3}3 | ||
| 性質 | |||
| 面 | 3 | ||
| 邊 | 6 | ||
| 頂點 | 4 | ||
| 歐拉特徵數 | F=3, E=6, V=4 （χ=1） | ||
| 組成與佈局 | |||
| 面的種類 | 正方形 | ||
| 頂點圖 | 4.4.4 | ||
| 對稱性 | |||
| 對稱群 | S4, 24階 | ||
| 特性 | |||
| 不可定向、 歐拉示性數為1 | |||
| 圖像 | |||
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性質
立方體半形由3個面、6條邊和4個頂點組成，每個面都是正方形，且每個頂點都是3個正方形的公共頂點，在施萊夫利符號中可以用{4,3}/2或{4,3}3來表示，其中{4,3}代表且每個頂點都是3個正方形的公共頂點[4]，然而{4,3}代表正常的立方體，即正六面體，因此用「/2」符號來表示所有元素都僅有立方體的一半數量[5][6]。
立方體半形的對偶多面體為正八面體半形，這個在更高維度的類比結構中同樣成立，即 維超方形半形（施萊夫利符號： ）的對偶多胞形為 維正軸形半形（施萊夫利符號： ）。[5][6]
特別地，這個立體的每個面皆與相鄰面共用2條邊，且每個面都包含了立體中所有頂點。一般而言，多胞形的面可以透過其點集來決定[7]，也就是說，一般不會存在2個相異面點集合相同的情況，因此這個立體是面無法僅從點集來確定的抽象多面體的例子之一。
構造
立方體半形可從有公共頂點的半個立方體（即三個面，下圖的I、II、III）開始構造。此形狀的邊界為一個六邊形，然後下一步是將此六條邊分成三組對邊（下圖的4、5、6），將每對邊（沿同一方向，例如順時針）黏合，就得到立方體半形[4]。這樣的構建方式使用了正四面體的骨架[8]，同時其構成的面不會共面[4]，其與正四面體的皮特里多邊形相同，其骨架在圖論中對應到四面體圖，可以視為K4完全圖嵌入於射影平面上的結果。[4]
 立方體半形 |
 K4完全圖 |
 皮特里四面體 |
具象化
立方體半形可被視為是射影多面體 （可視為由三個四邊形構成的實射影平面鑲嵌）[9]。要將其視覺化，可以透過將射影平面構築為一個半球體，並過半球體的邊界連接對蹠點，同時確保連接的部分能將半球體平均分割成三等份。
立方體半形和半立方體不同，立方體半形是一個射影多面體，且無法嵌入在三維歐幾里得空間中[2]；而半立方體是一個位於三維歐幾里德空間中的普通多面體。 雖然它們的頂點數皆為立方體的一半，立方體半形可以視為立方體的商空間，而半立方體則不是，半立方體只有頂點為立方體頂點的子集。
皮特里四面體
| 以不同顏色表示每個面 | |
| 類別 | 皮特里對偶 正則地區圖 |
|---|---|
| 對偶多面體 | 八面體半形 |
| 數學表示法 | |
| 施萊夫利符號 | {3,3}π {4,3}3 |
| 性質 | |
| 面 | 3 |
| 邊 | 6 |
| 頂點 | 4 |
| 歐拉特徵數 | F=3, E=6, V=4 （χ=1） |
| 二面角 | (不存在) |
| 對稱性 | |
| 對稱群 | Td, [3,3], *332 |
| 特性 | |
| 扭歪、正則 | |
皮特里四面體是正四面體的皮特里對偶[1][10]。在拓樸學上，這個結構與立方體半形同構，並可以視為立方體半形的一種具象化方式[4]。相對的立方體半形的皮特里對偶為正四面體，這意味着其皮特里多邊形可以與半立方體（此例對應正四面體）的面對應[11]。也就是說，立方體半形和正四面體互為皮特里對偶。[1][10]
皮特里四面體由3個面、6條邊和4個頂點組成，其中，3個面皆為正四面體的皮特里多邊形。正四面體的皮特里多邊形是一個扭歪四邊形。[12]由於皮特里四面體由扭歪四邊形組成[13]，因此無法確立其封閉範圍，故無法計算其表面積和體積。[14]
皮特里四面體是一個不可定向且歐拉示性數為1的幾何結構[1]。
 正四面體的皮特里多邊形 |
 構成皮特里立方體的扭歪四邊形面 |
皮特里四面體的頂點、邊和面數皆為立方體的一半，因此皮特里四面體可以被立方體（的表面）二重覆蓋[1]。皮特里四面體的對偶多面體為八面體半形[1]。皮特里四面體可以截半為截半立方體半形[1][15]。
 皮特里四面體 |
以正則地區圖表示的皮特里四面體 |
 皮特里四面體的對偶多面體以正則地區圖表示 |
相關多面體
立方體半形是正多面體的半形體之一，其他也是正多面體的半形之結構有[6]：
| 立方體半形 |
八面體半形 |
 十二面體半形 |
 二十面體半形 |
立方體半形與皮特里四面體拓樸同構，其可以視為是正多面體的皮特里對偶之一。其他也是正多面體的皮特里對偶之幾何結構有：[16]
| 皮特里四面體 |
 皮特里立方體 |
 皮特里八面體 |
 皮特里十二面體 |
 皮特里二十面體 |
參考資料
- ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 The hemicube. Regular Map database - map details. [2021-07-24]. （原始內容存檔於2019-05-02）.
- ^ 2.0 2.1 Mark Mixer. Introduction to abstract polytopes (PDF). Northeastern University. 2009-05-19 [2021-07-31]. （原始內容 (PDF)存檔於2021-08-06）.
- ^ Pellicer, D, Gráficas cpr y polytopos abstractos regulares (PDF), Universidad Nacional Autónoma de México, Mexico City, Mexico, 2007 [2021-07-31], （原始內容 (PDF)存檔於2021-08-06）
- ^ 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 Séquin, Carlo H and Lanier, Jaron. Hyperseeing the regular Hendecachoron. Proc ISAMA. 2007: 159–166 [2021-08-04]. （原始內容存檔於2021-08-04）.
- ^ 5.0 5.1 Hartley, Michael I. The Classification of Rank 4 Locally Projective Polytopes and Their Quotients (PDF). arXiv preprint math/0310429. 2003 [2021-07-31]. （原始內容 (PDF)存檔於2021-08-06）.
- ^ 6.0 6.1 6.2 McMullen, Peter; Schulte, Egon, 6C. Projective Regular Polytopes, Abstract Regular Polytopes 1st, Cambridge University Press: 162–165, December 2002, ISBN 0-521-81496-0
- ^ Kaibel, Volker and Pfetsch, Marc E. Computing the face lattice of a polytope from its vertex-facet incidences (PDF). Computational Geometry (Elsevier). 2002, 23 (3): 281–290 [2021-07-31]. （原始內容 (PDF)存檔於2021-08-06）.
- ^ Carlo H. Séquin. Sculpture designs and math models. University of California, Berkeley. [2021-07-31]. （原始內容存檔於2021-10-22）.
"Ribbed Hemicube" (June 2007) - 5"
- ^ Helfand, Ilanit, Constructions of k-orbit Abstract Polytopes, Northeastern University, 2013
- ^ 10.0 10.1 The tetrahedron. Regular Map database - map details. [2021-07-24]. （原始內容存檔於2021-08-23）.
- ^ Bracho, Javier and Hubard, Isabel and Pellicer, Daniel. A Finite Chiral 4-Polytope in . Discrete & Computational Geometry (Springer). 2014, 52 (4): 799––805.
- ^ Gorini, Catherine A., Geometry at Work, MAA Notes 53, Cambridge University Press: 181, 2000, ISBN 9780883851647
- ^ McMullen, Peter; Schulte, Egon, Abstract Regular Polytopes, Encyclopedia of Mathematics and its Applications 92, Cambridge University Press: 192, 2002, ISBN 9780521814966
- ^ Barnard, L., Aro -- Healing Touching Lives -- Theories, Techniques and Therapies: The Techniques and Therapies of Aro-Healing, Xlibris UK, 2014 [2021-07-31], ISBN 9781483631646, （原始內容存檔於2021-07-31）
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- ^ Regular maps in the orientable surface of genus 0. Regular Map database - map details. [2021-07-31]. （原始內容存檔於2021-10-19）.
