等軸測投影
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等軸測投影(Isometric projection)又稱等角投影是技術製圖和工程製圖中,一種在二維平面呈現三維物體的方法,屬於軸測投影的一種,三條坐標軸的投影縮放比例相同,並且任意兩條坐標軸投影之間的角度都是120度。
概述
等軸測投影圖可通過使各坐標軸的投影之間角度相等(120°)的視角來獲得。以立方體為例,先從一個面正視觀察,然後將立方體繞縱軸旋轉±45°,接着將立方體繞橫軸旋轉約±35.264° (準確值為 arcsin 1⁄√3或arctan 1⁄√2)。立方體的等軸測投影圖(右圖左上)是正六邊形:所有黑線長度相等,每個面的投影面積相同。利用等軸測格紙可以無需計算而繪製等軸測投影圖。
等軸測投影的視角可以看成是從立方體的頂點看向對面頂點,則x軸為立方體右側面右下延伸對角線、y軸為左側面左下延伸對角線、z軸為頂面向上延伸對角線。從此視角投影,各坐標軸的投影彼此成120°。
數學
根據觀察卦限的不同,有8種不同的等軸測投影視角。以第一卦限為例,三維上的點ax,y,z等軸測投影到二維上成點 bx,y,數學上可以寫成旋轉矩陣:
其中 α = arcsin(1⁄√3) ≈ 35.264° 且 β = 45°。
接着正投影到xy平面:
另外7種符合等軸測投影視角,可以藉由反方向旋轉或鏡像來達成。[1]
歷史與局限
等軸測投影的概念以經驗形式存在了數個世紀,然後由William Farish(1759–1837)在1822年首次正式描述。[2][3] 十九世紀中期,等軸測投影成為工程師的重要工具,不久之後等軸測投影和軸測投影進入歐美國家的建築學課程中。[4] 然而,有觀點認為軸測投影發源於中國,在中國藝術中起的作用,就如同透視投影之於西洋藝術,隨着視覺計算的出現,軸測投影和相關繪圖法則對電腦圖學 亦有所幫助。[5]
如同各種平行投影方法,等軸測投影繪製的物體不會因為物體距離觀察者的遠近而改變大小。雖然有利於建築圖直接測量長度,但卻會造成視覺失真,不像透視投影這種人類視覺和攝像使用的成像方式。等軸測投影有時會造成高度難以辨識(如右左下圖)。這點可被用來創造謬圖,如無限迴圈階梯。
在電動遊戲和像素畫上的用途
二十世紀八九十年代,受限於當時的微電腦計算能力,等軸測投影能提供有限的3D效果,因而被用於電動遊戲中,例如當時的機台遊戲《立體空戰》。
參見
註釋與參考
- ^ Ingrid Carlbom, Joseph Paciorek , Dan Lim. Planar Geometric Projections and Viewing Transformations. ACM Computing Surveys (ACM). December 1978, 10 (4): 465–502. doi:10.1145/356744.356750.
- ^ Barclay G. Jones (1986). Protecting historic architecture and museum collections from natural disasters. University of Michigan. ISBN 0-409-90035-4. p.243.
- ^ Charles Edmund Moorhouse (1974). Visual messages: graphic communication for senior students.
- ^ J. Krikke (1996). "A Chinese perspective for cyberspace? (頁面存檔備份,存於互聯網檔案館)". In: International Institute for Asian Studies Newsletter, 9, Summer 1996.
- ^ Jan Krikke (2000). "Axonometry: a matter of perspective". In: Computer Graphics and Applications, IEEE Jul/Aug 2000. Vol 20 (4), pp. 7–11.