算子範數

算子範數是數學中泛函分析里的概念。算子範數衡量的是線性映射或線性算子的「大小」，通常指的是兩個賦范向量空間之間的有界線性映射所構成的空間的範數。

簡介與定義

給定兩個賦范向量空間E和F，假定它們的係數域相同（一般是實數域$\mathbb {R}$或複數域$\mathbb {C}$）。從E到F的一個線性映射A是連續的若且唯若存在常數c > 0使得：

$\forall u\in E,\;\;\|A(u)\|_{F}\leqslant c\cdot \|u\|_{E}.$

其中的$\|\cdot \|_{E}$和$\|\cdot \|_{F}$分別是空間E和F上裝備的範數。這個定義說明，連續線性映射將一個E裏面的向量映射到F中時，其「長度」的改變不會超過c倍。常數c是對線性映射A的「效果」的一個上界估計。所以，有界的集合經過連續映射後的像仍然會是有界集合。因為這一點，連續線性映射也被稱作有界算子。而為了「精確計算」線性映射的「大小」，會引進算子範數的定義。有界線性算子的範數是能夠作為上界估計的c所有常數中「最小」的一個：

$\|A\|_{op}=\inf\{c\;;\;\;\|A(u)\|_{F}\leqslant c\cdot \|u\|_{E},\;\;\forall u\in E\}.$

其中的$\inf$指下確界。由於實數集合$\{c;\;\;\|A(u)\|_{F}\leqslant c\cdot \|u\|_{E}\;\forall u\in E\}$是有下界的閉集，定義中的下確界$\inf$可以改成「最小元素」：$\min$。

當F是E的係數域時，從E到F的連續線性映射被稱為連續線性泛函。連續線性泛函構成的空間被稱為從E的對偶空間，而連續線性泛函的算子範數被稱為對偶範數。對偶空間在對偶範數下是一個巴拿赫空間。

例子

考慮兩個裝備了正則歐幾里德範數的歐幾里德空間：$\mathbb {R} ^{n}$和$\mathbb {R} ^{m}$，其中$n,m$都是正整數。從$\mathbb {R} ^{n}$映射到$\mathbb {R} ^{m}$的有界線性算子（線性映射）都可以用$n\times m$的矩陣來表示。所以這些算子構成的空間實際上是矩陣空間：${\mathcal {M}}_{n,m}(\mathbb {R} )$，而對應的算子範數也稱為矩陣範數。假設某個線性映射對應的矩陣是$A$，那麼它的矩陣範數是$A^{*}A$的最大特徵值的平方根，或者說是$A$的最大的奇異值。

對於無限維的賦范空間，常見的例子有平方可加序列空間$\ell ^{2}$。其定義為：

$\ell ^{2}=\{(a_{n})_{n\in \mathbb {N} };\;\;a_{n}\in \mathbb {C} ,\;\sum _{n}|a_{n}|^{2}<\infty \}.$

給定一個有界數列$s=(s_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in \ell ^{\infty }$，考慮從$\ell ^{2}$到自身的線性算子$T_{s}$：

$\forall a=(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in \ell ^{2},\;\;T(a)=(s_{n}\cdot a_{n})_{n\in \mathbb {N} }.$

由於$s$是有界序列，其範數$\|s\|_{\infty }=\sup\{|s_{n}|;\;\;n\in \mathbb {N} \}<+\infty$，所以$\|T_{s}(a)\|_{2}\leqslant \|s\|_{\infty }\|a\|_{2}$。$T$是連續線性算子（有界算子）。而$T_{s}$的算子範數：

$\|T_{s}\|_{op}=\|s\|_{\infty }.$

類似的例子還有$L^{p}$空間之間的映射。例如考慮平方可積函數的空間$L^{2}(\mathbb {R} )$，設有從$L^{2}(\mathbb {R} )$映射到$L^{2}(\mathbb {R} )$的線性算子$T_{f}$：

$\forall \varphi \in L^{2}(\mathbb {R} ),\;\;(T_{f}(\varphi ))(t)=f(t)\phi (t).$

其中f 為給定的有界函數。則$T_{f}$是連續線性算子，其算子範數為：

$\|T_{f}\|_{op}=\|f\|_{\infty }.$

等價定義

線性算子A的算子範數除了定義為

$\|A\|_{op}=\inf\{c;\;\;\|A(u)\|_{F}\leqslant c\cdot \|u\|_{E}\;\forall u\in E\}.$

以外，還可以用以下等價的方式定義：

1. A的算子範數是A在單位閉球上取值的上確界：$\|A\|_{op}=\sup\{\|A(u)\|_{F};\;\;u\in E,\;\;\|u\|_{E}\leq 1\},$
2. A的算子範數是A在單位開球上取值的上確界：$\|A\|_{op}=\sup\{\|A(u)\|_{F};\;\;u\in E,\;\;\|u\|_{E}<1\},$
3. A的算子範數是A在單位球面上取值的上確界：$\|A\|_{op}=\sup\{\|A(u)\|_{F};\;\;u\in E,\;\;\|u\|_{E}=1\},$
4. A的算子範數是A在E中非零元素上取值和元素範數之比的上確界：$\|A\|_{op}=\sup\{{\frac {\|A(u)\|_{F}}{\|u\|_{E}}};\;\;u\in E,\;\;u\neq 0\}.$

性質

算子範數是所有從E到F的有界線性算子構成的空間上的範數，因此滿足範數的基本性質：

• 正定性：$\|A\|_{op}\geqslant 0$，並且$\|A\|_{op}=0$若且唯若$A=0.$
• 線性性：$\forall a\in \mathbb {K} ,\;\;\|aA\|_{op}=|a|\|A\|_{op}.$
• 次可加性：$\|A+B\|_{op}\leqslant \|A\|_{op}+\|B\|_{op}.$

此外，由算子範數的定義可推出以下不等式：

$\forall u\in E,\;\;\|A(u)\|_{F}\leqslant \|A\|_{op}\|u\|_{E}.$

有界算子複合後的算子範數仍然存在。假設有從E到F的有界線性算子A以及從F到G的有界線性算子B，那麼複合算子B$\circ$A也是從E到G的有界線性算子，其算子範數滿足不等式：

$\|B\circ A\|_{op}\leqslant \|B\|_{op}\|A\|_{op}.$

例如當A是E到自身的有界線性算子時，有：$\|A^{(n)}\|_{op}\leqslant \|A\|_{op}^{n}.$

如果F是完備空間，那麼從E到F的有界線性算子構成的空間，在裝備了算子範數下是完備的空間。