扭對稱幾何

扭對稱幾何（英語：Symplectic geometry），也叫扭對稱拓撲（英語：Symplectic topology），是微分幾何的一個分支。其研究對象為扭對稱流形，亦即帶有閉非退化2-形式的微分流形。扭對稱拓撲源於經典力學的哈密頓表述，其中特定經典系統的相空間有扭對稱流形的結構。

范德波爾振盪器的相圖，是1維系統。其相空間是扭對稱幾何最初的研究物件。

symplectic這個名詞，是赫爾曼·外爾所提出來的。他原來把symplectic group（扭對稱群）稱為complex group，以帶出line complex的含意。不過complex會令人聯想起complex number（複數），因此他將complex改為對應的希臘文symplectic一詞。complex源自拉丁文complexus一詞，詞根是co-（共同）+plexus（編織），意為「織在一起」，相對應希臘文詞根是sym-plektikos（συμπλεκτικός），結合成symplectic一詞。

由達布定理，扭對稱流形局部同構於標準扭對稱向量空間，因此只有全局（拓撲）不變量。研究扭對稱流形全局性質的「扭對稱拓撲」常與「扭對稱幾何」交替使用。

概述

扭對稱幾何定義在光滑偶數維微分流形上，其上定義了幾何物件，即扭對稱2形式，可以測量空間中2維物體的大小。扭對稱形式之於扭對稱幾何中類似於度量張量之於黎曼幾何，度量張量測量長度與角度，而扭對稱形式測量有向面積。

扭對稱幾何來自經典力學，扭對稱結構的一個例子是物體在1維中的運動。要指定物體的運動軌跡，需要知道位置向量q和動量p，形成平面$\mathbb {R} ^{2}$上的點(p,q)，這時，扭對稱形式為

$\omega =dp\wedge dq$

是面積形式，通過積分度量了平面內區域S的面積A：

$A=\int _{S}\omega .$

保守動態系統隨時間演化時，這個區域是不變的，所以它很重要。

高維扭對稱幾何的定義與之類似。2n維扭對稱幾何由一對方向組成

$((x_{1},x_{2}),(x_{3},x_{4}),\ldots (x_{2n-1},x_{2n}))$

在2n維流形中的扭對稱形式為

$\omega =dx_{1}\wedge dx_{2}+dx_{3}\wedge dx_{4}+\cdots +dx_{2n-1}\wedge dx_{2n}.$

此扭對稱形式得到空間中2n維區域V的大小，是V在每對方向形成的平面上的投影面積之和

$A=\int _{V}\omega =\int _{V}dx_{1}\wedge dx_{2}+\int _{V}dx_{3}\wedge dx_{4}+\cdots +\int _{V}dx_{2n-1}\wedge dx_{2n}.$

與黎曼幾何比較

扭對稱拓撲和研究有非退化對稱2階張量（稱為度量張量）的流形的黎曼幾何有一些相似和不同之處。不像黎曼的情況，扭對稱流形沒有像曲率那樣的局部不變量。這是達布定理的一個結果，定理指出2n維扭對稱流形任意點的鄰域與$\mathbb {R} ^{2n}$的開集上的標準扭對稱結構同構。另一個和黎曼幾何的區別是，不是所有的微分流形可以接受一個扭對稱形式；有一些特定的拓撲限制。首先，流形必須是偶數維、有向的。此外，若M是閉扭對稱流形，則其第二德拉姆餘調群$H^{2}(M)$非平凡，舉例來說這意味着唯一允許扭對稱形式的N維球面是2維球面。扭對稱拓撲的很多工作就是以研究哪些流形可以有扭對稱結構為中心的。黎曼幾何中的測地線與扭對稱幾何中的偽全純曲線也很相似：測地線是（局部）最短的曲線，而偽全純曲線是面積最小的曲面。它們在各自學科中都起着基礎性作用。

例子與結構

凱勒流形都是扭對稱流形。到1970年代，扭對稱專家們還不確信是否有任何緊非凱勒扭對稱流形，但從那以後又很多例子被構造出來（第一個由威廉·瑟斯頓給出）；特別的，Robert Gompf證明每個有限表示群都可以作為扭對稱4維流形的基本群出現，這和凱勒的情形完全不同。

可以說大部分扭對稱流形都是非凱勒的，所以沒有和扭對稱形式相容的可積複結構。但是米哈伊爾·格羅莫夫有重要發現：扭對稱流形可以接受很多相容的殆複結構，所以除了轉移映射必須是全純的這一條，扭對稱流形滿足凱勒流形的所有公理。

格羅莫夫利用扭對稱流形上殆複結構的存在發展了偽全純曲線的緊緻性定理；這個結構導致了扭對稱拓撲一個很大的子學科的發展。從格羅莫夫的理論產生的結果包括關於球到柱的扭對稱嵌入的格羅莫夫非壓縮定理，和關於哈密頓流的不動點的個數的阿爾諾德的一個猜想的證明。這是由從安德烈斯·弗洛爾開始的幾個研究者（逐步推廣到更一般的情形）所證明的，弗洛爾用格羅莫夫的方法引入了現在稱為弗洛爾同調的概念。

偽全純曲線也是扭對稱不變量的一個來源，這種不變量稱為格羅莫夫–維騰不變量，原則上可以用來區分兩個不同的扭對稱流形。

另見

• 幾何力學
• 動量映射
• 卜瓦松流形
• 扭對稱積分子

• 扭對稱向量空間
• 扭對稱流形
• 哈密頓力學
• 黎曼幾何
• 切觸幾何

參考文獻

• Abraham, Ralph; Marsden, Jerrold E. Foundations of Mechanics. London: Benjamin-Cummings. 1978. ISBN 978-0-8053-0102-1. 
• Arnol'd, V. I. Первые шаги симплектической топологии [First steps in symplectic topology]. Успехи математических наук. 1986, 41 (6(252)): 3–18. ISSN 0036-0279. S2CID 250908036. doi:10.1070/RM1986v041n06ABEH004221 –透過Russian Mathematical Surveys, 1986, 41:6, 1–21 （俄語）. 
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外部連結

• 維基共享資源上的相關多媒體資源：扭對稱幾何
• Hazewinkel, Michiel (編), Symplectic structure, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4