邏輯等價
此條目沒有列出任何參考或來源。 (2021年10月9日) |
在邏輯中，陳述p和q是邏輯等價的，如果它們有相同的邏輯內容。
p和q是語法等價的，如果每個都可以證明自另一個。p和q是語義等價的，如果它們在所有模型中有相同的真值。
邏輯等價經常混淆於實質等價。前者是在元語言中的一個陳述，斷言關於目標語言中的陳述p和q的某個事情。而p和q的實質等價（常寫為"p ↔ q"）自身是在目標語言中另一個陳述。但它們是有聯繫的，p和q是語法等價的，若且唯若p ↔ q是一個定理，而p和q是語義等價的，若且唯若p ↔ q是重言式。
邏輯等價有時表示為p ≡ q或p ⇔ q。但是，後者記號也用於實質等價。
邏輯等價公式
| 等價關係 | 關係名稱 |
|---|---|
| p∧T≡p p∨F≡p |
Identity laws 恆等律 |
| p∨T≡T p∧F≡F |
Domination laws 支配律 |
| p∨p≡p p∧p≡p |
Idempotent laws 冪等律 |
| ﹁(﹁p)≡p | Double negation laws 雙非律 |
| p∨q≡q∨p p∧q≡q∧p |
Commutative laws 交換律 |
| (p∨q)∨r≡p∨(q∨r) (p∧q)∧r≡p∧(q∧r) |
Associative laws 結合律 |
| p∨(q∧r)≡(p∨q)∧(p∨r) p∧(q∨r)≡(p∧q)∨(p∧r) |
Distributive laws 分配律 |
| ﹁(p∧q)≡﹁p∨﹁q ﹁(p∨q)≡﹁p∧﹁q |
De Morgan's laws 德摩根律 |
| p∨(p∧q)≡p p∧(p∨q)≡p |
Absorption laws 吸收律 |
| p∨﹁p≡T p∧﹁p≡F |
Negation laws 否定律 |
包括蘊涵的邏輯等價：
- p→q≡﹁p∨q
- p→q≡﹁q→﹁p
- p∨q≡﹁p→q
- p∧q≡﹁(p→﹁q)
- ﹁(p→q)≡p∧﹁q
- (p→q)∧(p→r)≡p→(q∧r)
- (p→q)∨(p→r)≡p→(q∨r)
- (p→r)∧(q→r)≡(p∨q)→r
- (p→r)∨(q→r)≡(p∧q)→r
- p→q≡﹁p∨q
包含雙蘊涵（邏輯雙條件）的邏輯等價：
- p↔q≡(p→q)∧(q→p)
- p↔q≡﹁p↔﹁q
- p↔q≡(p∧q)∨(﹁p∧﹁q)
- ﹁(p↔q)≡p↔﹁q
- p↔q≡(p→q)∧(q→p)
例子
John高於Fred≡≡（等價於）≡≡Fred矮於John。