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高維代數

在數學中，特別是（高階）範疇論中，高維代數是指對範疇化結構的研究。其在非阿貝爾代數拓撲與抽象代數的推廣中有應用。

高維範疇

主條目：範疇論 § 高維範疇

定義高維代數的第一步是高階範疇論中2-範疇的概念，以及二階範疇的更「幾何化」的概念。[1] [2][3]

更高級的概念因此定義為範疇的範疇，或稱為超範疇。這將範疇的標記推廣到高維——範疇被視為可以解釋抽象範疇基本理論（ETAC）的勞維爾公理的任何結構。[4][5][6][7]

因此，超範疇可被視作元範疇、[8]多範疇、多圖或有色圖。 超範疇的概念於1970年被首次提出，[9]隨後在理論物理（特別是量子場論和拓撲量子場論）、數理生物學及數理生物物理學中得到了應用。[10]

高維代數中的其他途徑涉及：弱2-範疇、弱2-範疇的同態、可變範疇（又稱索引或參數化範疇）、拓撲斯、增廣範疇 以及內範疇。

二維廣群

主條目：二維廣群

高維代數中，二維廣群是一維廣群的推廣，[11]後一種廣群可視為所有態射都可逆的特殊範疇。

二維廣群通常用來捕捉幾何對象的信息，如高維流形（或n維流形）。[11]一般來說，一個n維流形是在局部上像是n維歐幾里得空間的空間，而整體結構可能是非歐的。

1976年，羅納德·布朗在ref.[11] 中首先提出了二維廣群，並進一步發展了它在非阿貝爾代數拓撲中的應用。[12][13][14][15]與其相關的「雙」概念指的是二維李代數胚，以及更一般的R代數體概念。

非阿貝爾代數拓撲

主條目：非阿貝爾代數拓撲

應用

理論物理

在量子場論中有量子範疇[16][17][18]和量子二維廣群。[18]我們可以把量子二維廣群看作是通過2-函子定義的基本廣群，這樣就可由弱2-範疇Span(Groupoids)的視角思考量子基本廣群（QFGs）這一物理上有意義的情況，然後為流形和配邊構造2-希爾伯特空間和2-線性映射。下一步，我們將通過此類2-函子的自然變換來獲得帶角的配邊。於是有說法稱，在規範群SU(2)的作用下，「擴展的拓撲量子場論可以給出等同於量子引力的蓬扎諾-雷其模型的理論」；[18]相似地，圖拉耶夫-維羅模型也可以通過SUq(2)的表示得到。因此，我們可以用對稱性給出的變換廣群來描述規範理論——或者許多種量子場論（QFTs）及局域量子物理的狀態空間。例如，對於規範理論的情況，我們可以用作用於狀態的度規變換來描述狀態空間，在這種情況下狀態就是連接。在與量子群相關的對稱性的情況下，我們會得到量子廣群的表示範疇（representation category）的結構，[16]而非廣群的表示範疇的2-向量空間。

另見

  • 在量子物理領域的應用：

    • 參考文獻

    1. ^ Double Categories and Pseudo Algebras (PDF). （原始內容 (PDF)存檔於2010-06-10）. 
    2. ^ Brown, R.; Loday, J.-L. Homotopical excision, and Hurewicz theorems, for n-cubes of spaces. Proceedings of the London Mathematical Society. 1987, 54 (1): 176–192. CiteSeerX 10.1.1.168.1325  . doi:10.1112/plms/s3-54.1.176. 
    3. ^ Batanin, M.A. Monoidal Globular Categories As a Natural Environment for the Theory of Weak n-Categories. Advances in Mathematics. 1998, 136 (1): 39–103. doi:10.1006/aima.1998.1724  . 
    4. ^ Lawvere, F. W. An Elementary Theory of the Category of Sets. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. 1964, 52 (6): 1506–1511. Bibcode:1964PNAS...52.1506L. PMC 300477  . PMID 16591243. doi:10.1073/pnas.52.6.1506  . 
    5. ^ Lawvere, F. W.: 1966, The Category of Categories as a Foundation for Mathematics., in Proc. Conf. Categorical Algebra – La Jolla., Eilenberg, S. et al., eds. Springer-Verlag: Berlin, Heidelberg and New York., pp. 1–20. http://myyn.org/m/article/william-francis-lawvere/ 互聯網檔案館的存檔，存檔日期2009-08-12.
    6. ^ Kryptowährungen und Physik. PlanetPhysics. [2023-08-27]. （原始內容存檔於2018-07-27）. 
    7. ^ Lawvere, F. W. Adjointness in Foundations. Dialectica. 1969b, 23 (3–4): 281–295 [2009-06-21]. CiteSeerX 10.1.1.386.6900  . doi:10.1111/j.1746-8361.1969.tb01194.x. （原始內容存檔於2009-08-12）. 
    8. ^ Axioms of Metacategories and Supercategories. PlanetPhysics. [2009-03-02]. （原始內容存檔於2009-08-14）. 
    9. ^ Supercategory theory. PlanetMath. （原始內容存檔於2008-10-26）. 
    10. ^ Mathematical Biology and Theoretical Biophysics. PlanetPhysics. [2009-03-02]. （原始內容存檔於2009-08-14）. 
    11. ^ 11.0 11.1 11.2 Brown, Ronald; Spencer, Christopher B. Double groupoids and crossed modules. Cahiers de Topologie et Géométrie Différentielle Catégoriques. 1976, 17 (4): 343–362 [2023-08-27]. （原始內容存檔於2023-10-04）. 
    12. ^ Non-commutative Geometry and Non-Abelian Algebraic Topology. PlanetPhysics. [2009-03-02]. （原始內容存檔於2009-08-14）. 
    13. ^ Non-Abelian Algebraic Topology book 互聯網檔案館的存檔，存檔日期2009-06-04.
    14. ^ Nonabelian Algebraic Topology: Higher homotopy groupoids of filtered spaces. [2023-08-27]. （原始內容存檔於2022-03-18）. 
    15. ^ Brown, Ronald; Higgins, Philip; Sivera, Rafael. Nonabelian Algebraic Topology. 2011 [2023-08-27]. ISBN 978-3-03719-083-8. arXiv:math/0407275  . doi:10.4171/083. （原始內容存檔於2023-08-27）. 
    16. ^ 16.0 16.1 Quantum category. PlanetMath. （原始內容存檔於2011-12-01）. 
    17. ^ Associativity Isomorphism. PlanetMath. （原始內容存檔於2010-12-17）. 
    18. ^ 18.0 18.1 18.2 Morton, Jeffrey. A Note on Quantum Groupoids. C*-algebras, deformation theory, groupoids, noncommutative geometry, quantization. Theoretical Atlas. 2009-03-18 [2023-08-27]. （原始內容存檔於2023-10-09）. 

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