ARCH模型
計量經濟學模型
ARCH模型(英語:Autoregressive conditional heteroskedasticity model,全稱:自我迴歸條件異方差模型),解決了傳統的計量經濟學對時間序列變量的第二個假設(變異數恆定)所引起的問題。這個模型是獲得2003年諾貝爾經濟學獎的計量經濟學成果之一。
起源
傳統的計量經濟學對時間序列變量的第二個假設:假定時間序列變量的波動幅度(變異數)是固定的,不符合實際,比如,人們早就發現股票收益的波動幅度是隨時間而變化的,並非常數。這使得傳統的時間序列分析對實際問題並不有效。
羅伯特·恩格爾在1982年發表在《計量經濟學》雜誌(Econometrica)的一篇論文中提出了ARCH模型解決了時間序列的波動性(volatility)問題,當時他研究的是英國通貨膨脹率的波動性。
ARCH模型內涵
以 表示收益或者收益殘差,假設 ,此處 (即獨立同分佈,均符合期望值為0,變異數為1的正態分佈)此處序列 建模為
GARCH模型
如果變異數用ARMA模型來表示,則ARCH模型的變形為GARCH模型(波勒斯勒夫(Bollerslev),1986年)。
GARCH(p,q)模型為
IGARCH
IGARCH模型對GARCH的參數做了限制。IGARCH(p,q)模型可以表示為:
- 條件是:
GARCH-M
GARCH-M模型把異方差項引入平均數方程式。一個簡單的GARCH-M(1,1)模型可以表示為:
殘差項 定義為:
ARCH模型的應用
ARCH模型能準確地模擬時間序列變量的波動性的變化,它在金融工程學的實證研究中應用廣泛,使人們能更加準確地把握風險(波動性),尤其是應用在風險價值(Value at Risk)理論中,在華爾街是人盡皆知的工具。