CORDIC(英語:Coordinate rotation digital computer),也稱為Volder演算法(英語:Volder's algorithm),是一個可以計算三角函數,簡單且有效率的演算法,可以在任意進制下運算,一般會每次計算一位數字。因此CORDIC屬於逐位計算(Digit-by-digit)方法中的一個例子。

CORDIC演算法還有其他的名稱,像是圓形CORDIC (Jack E. Volder)[1][2]線性CORDIC雙曲線CORDIC(John Stephen Walther)[3][4]、及泛用雙曲線CORDIC(GH CORDIC, Yuanyong Luo et al.)[5][6]。用類似的方式也可以計算雙曲函數平方根乘法除法指數對數等。

CORDIC和一些名為「偽乘法」(pseudo-multiplication)、「偽除法」(pseudo-division)及factor combining的方法,常用在沒有乘法器的應用(像是簡單的微控制器以及FPGA),其中會用到的運算是加法減法位元移位查找表。這些算法可歸類在「移位和相加」(shift-and-add)演算法中。在計算機科學中,若CPU沒有硬件的乘法器,常會用CORDIC來實現浮點數運算

歷史

英國數學家亨利·布里格斯英語Henry Briggs (mathematician)早在1624年時就已發現此算法[7][8],後來Robert Flower也在1771年時發現[9],不過後來是因為低複雜度的有限狀態CPU,才針對CORDIC作較進一步的最佳化。

CORDIC是在1956年問世[10][11],是由康維爾空氣電子部門的Jack E. Volder英語Jack E. Volder發現,一開始是因為要取代B-58轟炸機英語B-58 Hustler導航電腦上面的類比式解角器(resolver),更換成更準確而實時的數位方案[11]。因此,有時也會將CORDIC稱為數位解角器(digital resolver)[12][13]

Volder的研究,是因為1946年版CRC化學和物理手冊中的公式而得到靈感[11]

 

其中 是使 成立的值,且 

他的研究最後產生了一個內部的技術報告,提到用CORDIC演算法來求解正弦餘弦函數,以及一個實現此功能的原型電腦[10][11]。報告中也提到用修改版的CORDIC演算法計算雙曲函數、座標旋轉對數指數的可能性[10][11]。用CORDIC來進行乘法和除法運算的想法也是在此時形成[11]。依照CORDIC演算法的原則,Volder的同事Dan H. Daggett發展了在二進位以及二進碼十進數(BCD)之間轉換的演算法[11][14]

應用

CORDIC用簡單的移位和相加運算來處理像是三角函數、雙曲函數、對數函數、實數及複數乘法、除法、方根計算、線性系統求解、特徵值估測、奇異值分解QR分解等。因此,CORDIC可以用在許多的應用中,像是信號處理影像處理通訊系統機械人學三維計算機圖形[15][16]

硬件

若沒有硬件乘法器的話,CORDIC一般會比其他算法要快很多,若是用FPGAASIC的話,使用的邏輯閘也會少很多。

CORDIC是FPGA開發應用程式(像是Xilinx的Vivado)中的標準半導體IP核,而不是使用特殊函數的冪級數實現,其原因是CORDIC IP的通用性,CORDIC可以計算許多不同的函數,而為特定函數開發的乘法器只能計算特定的函數。

另一方面,若有硬件乘法器(例如DSP),查表法及冪級數會比CORDIC快很多。近年來,CORDIC演算法常用在生醫應用中,尤其是用FPGA實現的應用[來源請求]

使用泰勒級數的問題是此方法可以產生小的絕對誤差,但其中沒有良態的相對誤差[17]。其他多項式近似法,例如Minimax近似演算法英語Minimax approximation algorithm,可以同時控制這二種的誤差。

軟件

在CPU只有整數運算的古老系統中,會將CORDIC放在其IEEE 754函式庫的一部份。現代的通用CPU已有浮點運算暫存器,也有加法、減法、乘法、除法、三角函數、平方根、一般對數、自然對數等,幾乎沒有用到CORDIC的場合。只有一些有特殊安全性或是時間要求的應用程式才會用到CORDIC。

運作模式

旋轉模式

CORDIC可以用來計算許多不同的函數。以下說明如何在旋轉模式(rotation mode)下的CORDIC計算角度的正弦函數和餘弦函數,假設角度以弧度的定點格式表示。要找到一個角度 的正弦函數和餘弦函數,可以在單位圓上找到對應角度的y座標和座標。利用CORDIC,會從以下的向量 開始:

 
 
CORDIC演算法的圖解

在第一次的迭代時,向量逆時針轉45°,得到向量 。接着繼續的迭代,每一次的角度漸漸變小,旋轉方向可能順時針,也可能逆時針,直到得到想要的角度為止。每一次的角度為 ,其中 

若以更正式的方式表示,每一次的迭代就是一次旋轉,也就是將向量 乘以旋轉矩陣 

 

旋轉矩陣為

 

利用以下兩個三角恆等式:

 

旋轉矩陣變成

 

旋轉向量 就會變成下式

 

其中   的分量,若將角度 限制在使 的值,和tangent的乘法就以變成乘(或除)2的冪次,在數位電腦硬件中可以快速的用位元右移或左移來計算。因此上法會變成

 

其中

 

 是用來判斷旋轉方向的。若角度 為正,則 為+1,否則則為−1。

所有的 因子可以在迭代過程中忽略,最後再一次乘以 因子即可:

 

此數可以事先計算好存在表格中,若迭代次數是固定的,只需計算一個常數且儲存即可,甚至此修正也可以事先進行,將常數先乘以 ,可以節省一次乘法。另外,可以注意到[18]

 

因此可以簡化演算法的複雜度。有些應用會避免修正 ,因此此演算法本身會帶一個增益 [19]

 

在夠多次的迭代後,向量的角度會接近想要的角度 。以一般的應用來說,40次的迭代(n = 40)已可以有小數10位的精度。

唯一未解決的問題是判斷每一次迭代要順時針旋轉或逆時針旋轉(選擇 的值)。這可以記錄每一次旋轉的角度,從還需要旋轉的角度中減去此一角度,會得到下一個還需要旋轉的角度 。若 為正,需要順時針旋轉,否則,就需要順時針旋轉:

 
 

 的值需要事先計算且記錄下來。不過若是小角度,根據小角度近似,在定點數下可得 ,因此可以節省儲存用的空間。

如以上所述,角度 的正弦函數為其y坐標,餘弦函數為其x坐標。

向量模式

上述旋轉模式的演算法,是旋轉原來位在x軸上的單位向量。但此演算法可以用來旋轉角度在−  之間的任意向量,旋轉的方向則依 的正負號決定。

向量模式下的演算法和旋轉模式略有不同。其啟始向量的x坐標要為正值,y坐標則為任意值。持續轉動的目的是將向量旋轉到x軸(因此y座標為0)。每一步裏的旋轉方向會由y的值決定。 的最終值包括了總旋轉角度。x的最終值是原向量的大小,再乘以K。因此,可以看出向量模式可以進行直角坐標到極坐標的轉換。

實現

Java的Math類別中有scalb(double x,int scale)方法可以實現二進位的移位[20],C語言有ldexp函數[21],x86處理器有fscale浮點運算[22]

軟件範例(Python)

from math import atan2, sqrt, sin, cos, radians

ITERS = 16
theta_table = [atan2(1, 2**i) for i in range(ITERS)]

def compute_K(n):
    """
    Compute K(n) for n = ITERS. This could also be
    stored as an explicit constant if ITERS above is fixed.
    """
    k = 1.0
    for i in range(n):
        k *= 1 / sqrt(1 + 2 ** (-2 * i))
    return k

def CORDIC(alpha, n):
    K_n = compute_K(n)
    theta = 0.0
    x = 1.0
    y = 0.0
    P2i = 1  # This will be 2**(-i) in the loop below
    for arc_tangent in theta_table:
        sigma = +1 if theta < alpha else -1
        theta += sigma * arc_tangent
        x, y = x - sigma * y * P2i, sigma * P2i * x + y
        P2i /= 2
    return x * K_n, y * K_n

if __name__ == "__main__":
    # Print a table of computed sines and cosines, from -90° to +90°, in steps of 15°,
    # comparing against the available math routines.
    print("  x       sin(x)     diff. sine     cos(x)    diff. cosine ")
    for x in range(-90, 91, 15):
        cos_x, sin_x = CORDIC(radians(x), ITERS)
        print(
            f"{x:+05.1f}°  {sin_x:+.8f} ({sin_x-sin(radians(x)):+.8f}) {cos_x:+.8f} ({cos_x-cos(radians(x)):+.8f})"
        )

輸出

$ python cordic.py
  x       sin(x)     diff. sine     cos(x)    diff. cosine
-90.0°  -1.00000000 (+0.00000000) -0.00001759 (-0.00001759)
-75.0°  -0.96592181 (+0.00000402) +0.25883404 (+0.00001499)
-60.0°  -0.86601812 (+0.00000729) +0.50001262 (+0.00001262)
-45.0°  -0.70711776 (-0.00001098) +0.70709580 (-0.00001098)
-30.0°  -0.50001262 (-0.00001262) +0.86601812 (-0.00000729)
-15.0°  -0.25883404 (-0.00001499) +0.96592181 (-0.00000402)
+00.0°  +0.00001759 (+0.00001759) +1.00000000 (-0.00000000)
+15.0°  +0.25883404 (+0.00001499) +0.96592181 (-0.00000402)
+30.0°  +0.50001262 (+0.00001262) +0.86601812 (-0.00000729)
+45.0°  +0.70709580 (-0.00001098) +0.70711776 (+0.00001098)
+60.0°  +0.86601812 (-0.00000729) +0.50001262 (+0.00001262)
+75.0°  +0.96592181 (-0.00000402) +0.25883404 (+0.00001499)
+90.0°  +1.00000000 (-0.00000000) -0.00001759 (-0.00001759)

硬件範例

實現CORDIC需要的邏輯閘大約和乘法器相當,兩者都是用位元移位和加法所組合的。要選擇乘法器或是CORDIC會隨應用而定。若複數以其實部和虛部表示(直角座標),複數乘法會需要進行四次的乘法。但若複數以極座標表示,只要一個CORDIC即可處理,這更適合用在其乘積的量值不重要的應用(例如將向量和單位圓上的向量相乘的情形)。在數位下轉換器英語digital down converter之類的通訊相關電路中,常會用到CORDIC。

雙重迭代CORDIC

在Vladimir Baykov的二篇文獻中[23][24],曾經提到用「雙重迭代」(double iterations)來實現反正弦函數、反餘弦函數、自然對數、指數函數以及雙曲函數。雙重迭代中的作法和傳統的CORDIC演算法不同,傳統的CORDIC演算法中,迭代變數會在每次迭代時加一。但在雙重迭代中,迭代變數會先重複一次,然後才加一。因此雙重迭代CORDIC演算法的迭代變數會是 ,而傳統CORDIC演算法的迭代變數是 。雙重迭代法保證方法的收斂,不過其引數的有效範圍會變化。

針對 進制數字系統中,通用的CORDIC收斂問題,可以證明[25]針對正弦、餘弦及反正切函數,每一個i(i = 0或1到n,其中n是位數)進行 次迭代就可以保證收斂。若是自然對數、指數、雙曲正弦、雙曲餘弦及雙曲反正切函數,每一個i需要進行 次迭代。若是反正弦函數及反餘弦函數,每一個i需要進行2  次的迭代[25]

若是雙曲反正弦及雙曲反餘弦函數,每一個i需要進行2R次的迭代。

相關演算法

CORDIC屬於「移位及加法」(shift-and-add)的演算法,就像Henry Briggs文獻提到的對數和指數演算法一樣。BKM演算法英語BKM algorithm也是可以計算許多基本函數的移位及加法演算法,是複數平面下對數和指數演算法的推廣。BKM可以計算實數角度 (以弧度表示)的正弦和餘弦,其方式是計算 的指數,也就是 。BKM演算法比CORDIC要複雜一些,但其優點是不需考慮比例因子(K)。

相關條目

參考資料

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  2. ^ Volder, Jack E. The CORDIC Trigonometric Computing Technique (PDF). IRE Transactions on Electronic Computers (The Institute of Radio Engineers, Inc. (IRE)). 1959-05-25, 8 (3): 330–334 (reprint: 226–230) (September 1959) [2016-01-01]. EC-8(3):330–334. (原始內容 (PDF)存檔於2021-06-12). 
  3. ^ Walther, John Stephen. 寫於Palo Alto, California, USA. A unified algorithm for elementary functions (PDF). Proceedings of the Spring Joint Computer Conference (Atlantic City, New Jersey, USA: Hewlett-Packard Company). May 1971, 38: 379–385 [2016-01-01]. (原始內容 (PDF)存檔於2021-06-12) –透過American Federation of Information Processing Societies (AFIPS). 
  4. ^ Walther, John Stephen. The Story of Unified CORDIC. The Journal of VLSI Signal Processing (Hingham, MA, USA: Kluwer Academic Publishers). June 2000, 25 (2 (Special issue on CORDIC)): 107–112 [2024-01-28]. ISSN 0922-5773. S2CID 26922158. doi:10.1023/A:1008162721424. (原始內容存檔於2018-12-08). 
  5. ^ Luo, Yuanyong; Wang, Yuxuan; Ha, Yajun; Wang, Zhongfeng; Chen, Siyuan; Pan, Hongbing. Generalized Hyperbolic CORDIC and Its Logarithmic and Exponential Computation With Arbitrary Fixed Base. IEEE Transactions on Very Large Scale Integration (VLSI) Systems. September 2019, 27 (9): 2156–2169. S2CID 196171166. doi:10.1109/TVLSI.2019.2919557. 
  6. ^ Luo, Yuanyong; Wang, Yuxuan; Ha, Yajun; Wang, Zhongfeng; Chen, Siyuan; Pan, Hongbing. Corrections to "Generalized Hyperbolic CORDIC and Its Logarithmic and Exponential Computation With Arbitrary Fixed Base". IEEE Transactions on Very Large Scale Integration (VLSI) Systems. September 2019, 27 (9): 2222. S2CID 201711001. doi:10.1109/TVLSI.2019.2932174. 
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外部連結