伽罗瓦群

伽罗瓦群（法语：Groupe de Galois）是抽象代数中域论的概念，表示与某个类型的域扩张相伴的群，是伽罗瓦理论的基础概念。域扩张源于多项式。通过伽罗瓦群研究域扩张以及多项式的理论，称为伽罗瓦理论，是十九世纪法国数学家埃瓦里斯特·伽罗瓦为了解决“高次多项式方程是否有根式解”的问题而创造的。后世也以他的名字命名相关的概念。

用置换群更初等地讨论伽罗瓦群，参见伽罗瓦理论一文。

定义

设有域扩张 $L/K$ 。考虑所有 $L$ 上的 $K-$ 自同构集合。此处的 $K-$ 自同构指的是 $L$ 映射到 $L$ 的域同构，且其限制在 $K$ 上的部分是平凡的（即为恒等映射）。用数学语言描述，一个 $K-$ 自同构是指满足以下条件的同态 $σ$ ^[1]^:15-16^[2]^:125：

$σ$ 是从 $L$ 映射到 $L$ 上的双射。
$σ$ 是域同态，即： $\forall a,b,\in L,\;\sigma (a+b)=\sigma (a)+\sigma (b),\;\sigma (ab)=\sigma (a)\sigma (b).$
$σ$ 将所有 $K$ 中元素映射到其自身： $\forall x\in K,\;\sigma (x)=x.$

可以证明，对任意的域扩张 $L/K$ ，所有 $L$ 上的 $K-$ 自同构关于映射的复合运算构成群，称为域扩张 $L/K$ 的自同构群，记作 $Aut(L/K)$ ^[1]^:16。

如果 $L/K$ 是一个伽罗瓦扩张，则 $Aut(L/K)$ 称为扩张 $L/K$ 上的伽罗瓦群，通常记做 $Gal(L/K)$ （有些文献中记作 $Gal(L : K)$ ）^[1]^:16。

在某些介绍伽罗瓦理论的专著中，也会将任何域扩张上的自同构群都称为伽罗瓦群，并记作 $Gal(L/K)$ $σ$ ^[2]^:125。

例子

设 $F$ 是一个域， $\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C}$ 分别为有理数、实数与复数域。 $F (a)$ 表示在 $F$ 中添加元素 $a$ 生成的域扩张。

$F/F$ 是平凡扩张，也是可分正规扩张，即伽罗瓦扩张。其伽罗瓦群 $Gal(F / F)$ 是只包含一个元素（即恒等映射）的平凡群。
$\mathbb {C} /\mathbb {R}$ 是次数为2的伽罗瓦扩张。其伽罗瓦群 $\mathrm {Gal} (\mathbb {C} /\mathbb {R} )$ 有两个元素，恒等映射与复共轭自同构^[2]^:127。
$\mathbb {R} /\mathbb {Q}$ 不是伽罗瓦扩张。其自同构群 $\mathrm {Gal} (\mathbb {R} /\mathbb {Q} )$ 是只包含恒等映射的平凡群。事实上可以证明，任何在 $\mathbb {Q}$ 上为恒等映射的 $\mathbb {R}$ 到 $\mathbb {R}$ 的自同构，都保持实数的序结构。也就是说，只要某个自同构 $σ$ 将每个有理数都映射到自身，那么对任何 $a < b$ ，都有 $σ (a) < σ (b)$ 。这说明此自同构在整个实数集上都是恒等映射。

$\mathbb {C} /\mathbb {Q}$ 是无限伽罗瓦扩张。其伽罗瓦群是无限群。
$\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})/\mathbb {Q}$ 是次数为2的伽罗瓦扩张。其伽罗瓦群 $\mathrm {Gal} (\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})/\mathbb {Q} )$ 有两个元素，恒等映射与将 $\sqrt 2$ 与 $- \sqrt 2$ 互换的自同构^[2]^:127。
考虑域 $K=\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})$ 。 $K/\mathbb {Q}$ 不是正规扩张，故不是伽罗瓦扩张。其自同构群 $\mathrm {Aut} (K/\mathbb {Q} )$ 只包含恒等映射^[2]^:127。
现在考虑 $L=\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}},\omega )$ ，这里 $ω$ 是本原三次单位根。 $L$ 是有理数域上不可约的多项式 $P = X 3 - 2$ 的分裂域，因此是伽罗瓦扩张。其伽罗瓦群 $\mathrm {Gal} (K/\mathbb {Q} )$ 同构于3次置换群 $S$ ₃。这个群是可解群，意味着多项式方程 $X 3 - 2 = 0$ 能用根式求解^[1]^:52-53。

基本性质

设有域扩张 $L/K$ ，则其自同构群 $Aut(L/K)$ 满足：

设 $P$ 是一个以 $K$ 中元素为系数的多项式。 $α$ ∈ $L$ 是它的一个根，则自同构群中任一个元素 $σ$ 仍将 $α$ 映射到 $P$ 的根上^[2]^:126。
如果 $L/K$ 是有限生成的域扩张，即存在 $\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots ,\alpha _{m}\in L$ ，使得 $L = K (α 1, α 2, ... , α m)$ ，那么自同构群中任一个元素 $σ$ 被这些元素唯一决定。也就是说，如果知道了 $σ (α 1), σ (α 2), ... , σ (α m))$ 的取值，就能知道 $σ$ 作用在 $L$ 中任何元素上的结果^[2]^:126。
有限扩张的自同构群是有限群^[2]^:126，其元素个数 $|Aut(L/K)|$ 整除扩张次数 $[L : K]$ ，因此小于等于 $[L : K]$ 。两者相等当且仅当 $L/K$ 是伽罗瓦扩张^[2]^:150。

设域扩张 $L/K$ 为伽罗瓦扩张。以下的性质均可以在没有伽罗瓦理论基本定理的情况下证明。

$|\mathrm {Gal} (L/K)|=[L:K]$ ^[2]^:130
令 $G=\mathrm {Gal} (L/K)$ ，则 $G$ 的不变域，即 $L^{G}=\{x\in L|\forall \sigma \in G,\sigma (x)=x\}$ ，是 $K$ 。反之，如果有限扩张 $L/K$ 的自同构群的不变域是 $K$ ，那么它是伽罗瓦扩张。^[2]^:150
设 $F$ 是一个域并且复合域 $LF$ 存在。那么 $\mathrm {Gal} (LF/F)\hookrightarrow \mathrm {Gal} (L/K)$ ，即 $Gal(LF/F)$ 和 $Gal(L/K)$ 的一个子群同构。（由正规扩张和可分扩张的性质， $KF/F$ 是一个伽罗瓦扩张，因此可以讨论 $Gal(LF/F)$ ）

伽罗瓦扩张的重要性在于，有限的伽罗瓦扩张满足伽罗瓦理论基本定理：伽罗瓦群的子群与域扩张的中间域之间存在着反向包含的一一对应关系。

如果 $Gal(L/K)$ 是伽罗瓦扩张，则伽罗瓦群 $Gal(L/K)$ 上可以装备一个拓扑，称为克鲁尔拓扑（英语：Krull topology），使其成为一个投射有限群（英语：profinite group）。在此拓扑下，即便 $Gal(L/K)$ 是无限扩张，其伽罗瓦群的闭子群与域扩张的中间域存在着反向包含的一一对应关系，有类似伽罗瓦理论基本定理的结论。

参见

参考来源

^ ^1.0 ^1.1 ^1.2 ^1.3 Patrick Morandi. Fields and Galois Theory. Springer（插图版）. 1996. ISBN 9780387947532 （英语）.
^ ^2.00 ^2.01 ^2.02 ^2.03 ^2.04 ^2.05 ^2.06 ^2.07 ^2.08 ^2.09 ^2.10 David A. Cox. Galois Theory. John Wiley & Sons, 1st Edition. 2004 [2014-06-14]. ISBN 9780471434191. （原始内容存档于2014-07-14）（英语）.

外部链接

Galois Groups（页面存档备份，存于互联网档案馆） at MathPages

[gtm167-1] 1.0 ^1.1 ^1.2 ^1.3 Patrick Morandi. Fields and Galois Theory. Springer（插图版）. 1996. ISBN 9780387947532 （英语）.

[cox-2] 2.00 ^2.01 ^2.02 ^2.03 ^2.04 ^2.05 ^2.06 ^2.07 ^2.08 ^2.09 ^2.10 David A. Cox. Galois Theory. John Wiley & Sons, 1st Edition. 2004 [2014-06-14]. ISBN 9780471434191. （原始内容存档于2014-07-14）（英语）.

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