分布式参数系统

分布式参数系统（distributed parameter system）不同于集总参数系统，是状态空间为无限维度的系统。这类系统也称为是无限维系统。典型的例子是用偏微分方程或是时滞微分方程描述的系统。以下段落所探讨的会以线性非时变分布式参数系统为主。

抽象发展方程

离散时间

假设U、X和Y是希尔伯特空间，而$A\,$ ∈ L(X), $B\,$ ∈ L(U, X), $C\,$ ∈ L(X, Y) 和$D\,$ ∈ L(U, Y)，以下方程可确定一个离散时间的线性非时变系统：

$x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)\,$

$y(k)=Cx(k)+Du(k)\,$

其中$x\,$（状态）是序列，其值在X内，$u\,$（输入或是控制）是序列，其值在U内，$y\,$（输出）为序列，其值在Y内。

连续时间

连续时间的例子类似离散时间，但需要用微分方程表示，不是用差分方程表示：

${\dot {x}}(t)=Ax(t)+Bu(t)\,$,

$y(t)=Cx(t)+Du(t)\,$

接下来复杂的部分就是将实际的问题（例如偏微分方程或是时滞微分方程）加到上述的抽象发展方程中，作法是强制使用无界算子。一般会假定A状态空间X里的C0半群。假定B、C和D是有界算子，允许包括多待分析的实际的例子，不过有些实际的例子也会假定B和C是无界的。

例子：偏微分方程

$t>0$及$\xi \in [0,1]$的偏微分方程如下

${\frac {\partial }{\partial t}}w(t,\xi )=-{\frac {\partial }{\partial \xi }}w(t,\xi )+u(t),$

$w(0,\xi )=w_{0}(\xi ),$

$w(t,0)=0,$

$y(t)=\int _{0}^{1}w(t,\xi )\,d\xi ,$

符合上述的抽象发展方程。说明如下：输入空间U及输出空间Y都选定是复数的集合，状态空间X选定是L²(0, 1)，A算子定义为:$Ax=-x',D(A)=\left\{x\in X:x{\text{ absolutely continuous }},x'\in L^{2}(0,1){\text{ and }}x(0)=0\right\}.$ 可以证明A可以产生X空间内的强连续半群。有界算子B, C和D定义为

$Bu=u,Cx=\int _{0}^{1}x(\xi )\,d\xi ,D=0$

例子：时滞微分方程

时滞微分方程

${\dot {w}}(t)=w(t)+w(t-\tau )+u(t),$

$y(t)=w(t),$

符合上述的抽象发展方程。说明如下：输入空间U及输出空间Y都选定是复数的集合，状态空间X选定是L²(−τ, 0)复数的乘积，A算子定义为

$A{\begin{pmatrix}r\\f\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r+f(-\tau )\\f'\end{pmatrix}},D(A)=\left\{{\begin{pmatrix}r\\f\end{pmatrix}}\in X:f{\text{ absolutely continuous }},f'\in L^{2}([-\tau ,0]){\text{ and }}r=f(0)\right\}.$

可以证明A可以产生X空间内的强连续半群。有界算子B, C和D定义为

$Bu={\begin{pmatrix}u\\0\end{pmatrix}},C{\begin{pmatrix}r\\f\end{pmatrix}}=r,D=0.$

传递函数

分布式参数系统的传递函数和有限维度下的情形相同，都是利用拉氏转换（连续时间）或是Z转换（离散时间）来定义。不过有限维度下的传递函数是真分式的有理函数，而无限维度的传递函数会是无理函数（不过仍然是全纯函数）。

离散时间

离散时间的传递函数可以用状态空间参数，表示为以下的形式$D+\sum _{k=0}^{\infty }CA^{k}Bz^{k}$，函数在圆心为原点的圆盘内是全纯的。若1/z在A的resolvent set内（可能是另一个以圆心为原点，较小的圆盘），则传递函数为$D+Cz(I-zA)^{-1}B$。任何在零点为全纯的函数都有对应的离散系统，使该函数为离散系统的传递函数。

连续时间

若A可产生强连续半群，且B、C及D为有界算子，则传递函数可以用状态空间参数表示为$D+C(sI-A)^{-1}B$，其中s的实部比A产生半群的指数成长上界要大。在更广泛的情形下，上述公式不一定有意义，不过上述公式适当推广后的版本仍然会有效。

若要得到传递函数的简单表示式，较理想的方式是将微分方式进行拉氏转换，而不是用状态空间中的参数来表示。

偏微分方程的传递函数

令初始条件$w_{0}$为0，将对t进行过拉氏转换的函数用大写表示，可以将偏微分方程转换为以下的形式

$sW(s,\xi )=-{\frac {d}{d\xi }}W(s,\xi )+U(s),$

$W(s,0)=0,$

$Y(s)=\int _{0}^{1}W(s,\xi )\,d\xi .$

这是非齐次线性微分方程，变数为$\xi$，s为参数，且初始条件为零。其解为$W(s,\xi )=U(s)(1-e^{-s\xi })/s$。用此式来代入有Y 的方式中并且积分，可以得到$Y(s)=U(s)(e^{-s}+s-1)/s^{2}$，因此传递函数为$(e^{-s}+s-1)/s^{2}$。

时滞微分方程的传递函数

类似上述偏微分程的例子，时滞微分方程的传递函数为 $1/(s-1-e^{-s})$。

可控制性

在有限维的系统中，可控制性的定义只有一种，但无限维的系统中，有几种不相容的可控制性定义。以下是最重要的三种：

• 精确可控制性（Exact controllability）
• 近似可控制性（Approximate controllability）
• 零可控制性（Null controllability)

离散时间下的可控制性

在离散时间系统中，将所有U值序列的集合映射到X的映射$\Phi _{n}$相当的重要，其表示式为$\Phi _{n}u=\sum _{k=0}^{n}A^{k}Bu_{k}$。$\Phi _{n}u$是初始条件为零时，给定输入序列u下达到的状态。The system is called

• 系统在时间n内为精确可控制（exactly controllable）若$\Phi _{n}$的值域为X。
• 系统在时间n内为近似可控制（approximately controllable）若$\Phi _{n}$的值域是X内的稠密集。
• 系统在时间n内为零可控制（null controllable）若$\Phi _{n}$的值包括Aⁿ的值域。

连续时间下的可控制性

在连续时间系统中，$\Phi _{t}$（表示为$\int _{0}^{t}{\rm {e}}^{As}Bu(s)\,ds$）有和离散时间系统的$\Phi _{n}$一样重要的角色。不过，控制函数所在的空间也会影响定义。一般的选择是L²(0, ∞;U)，是在(0, ∞)区间内U值平方可积函数的（等效）空间，不过也有其他的定义，例如L¹(0, ∞;U)。当$\Phi _{t}$的定义域选定之后，有以下几种不同的可控制性。

• 系统在时间t内为精确可控制（exactly controllable）若$\Phi _{t}$的值域为X。
• 系统在时间t内为近似可控制（approximately controllable）若$\Phi _{t}$的值域为X内的稠密集。
• 系统在时间t内为零可控制（null controllable）若$\Phi _{t}$的值包括${\rm {e}}^{At}$的值域。

可观察性

就如同有限维度下的情形一样，无限维度的可观察性也是可控制性的对偶概念。无限维度有很多种的可观察性定义，最重要的三个如下：

• 精确可观察性（exactly observable），也称为连续可观察性（continuous observability）
• 近似可观察性（approximately observable）
• 最终状态可观察性（final state observable）

离散时间下的可观察性

在离散时间系统的可观察性中，$\Psi _{n}$（将X映射到所有Y值序列空间的映射，若k ≤ n，表示为$(\Psi _{n}x)_{k}=CA^{k}x$，在k > n时，数值为0)。意思是$\Psi _{n}x$是初始条件x，控制输入为0时的truncated output。有以下几种可观察性

• 在时间n有精确可观察性（exactly observable），若存在 k_n > 0 ，使得　$\|\Psi _{n}x\|\geq k_{n}\|x\|$，在所有 x ∈ X 时都成立
• 在时间n有近似可观察性（approximately observable），若$\Psi _{n}$为单射
• 在时间n有最终状态可观察性（final state observable），若存在 k_n > 0 使得$\|\Psi _{n}x\|\geq k_{n}\|A^{n}x\|$，在所有 x ∈ X 时都成立

连续时间下的可观察性

在连续时间系统的可观察性中，$\Psi _{t}$（表示为$(\Psi _{t})(s)=C{\rm {e}}^{As}x$，其中s∈[0,t]，若s>t时为零）的角色和$\Psi _{n}$在离散时间系统中的相当。不过运算子作用的函数空间也会影响其定义。常见的选择是L²(0, ∞, Y)，是（等效于）在定义域(0,∞)内的Y-值平方可积函数，不过也可以选择其他的函数空间，例如L¹(0, ∞, Y)。只要选择了$\Psi _{t}$的辅域，就可以定义不同的可观察性，有以下几种可观察性：

• 在时间t有精确可观察性（exactly observable），若存在k_t > 0，使得$\|\Psi _{t}x\|\geq k_{t}\|x\|$，在所有 x ∈ X 时都成立
• 在时间t有近似可观察性（approximately observable），若$\Psi _{t}$为单射
• 在时间t有最终状态可观察性（final state observable），若存在 k_t > 0 使得$\|\Psi _{t}x\|\geq k_{t}\|{\rm {e}}^{At}x\|$ ，在所有x ∈ X 时都成立

可控制性和可观察性的对偶

和有限维度下的情形类似，可控制性和可观察性也是对偶的概念（若$\Phi$域以及辅域$\Psi$都选用一般的函数空间L²时），这些不同概念的对偶如下：

• 精确可控制性 ↔ 精确可观察性。
• 近似可控制性 ↔ 近似可观察性。
• 零可控制性 ↔ 最终状态可观察性。

相关条目

• 控制理论
• 状态空间

参考资料

• Curtain, Ruth; Zwart, Hans, An Introduction to Infinite-Dimensional Linear Systems theory, Springer, 1995 
• Tucsnak, Marius; Weiss, George, Observation and Control for Operator Semigroups, Birkhauser, 2009 
• Staffans, Olof, Well-posed linear systems, Cambridge University Press, 2005 
• Luo, Zheng-Hua; Guo, Bao-Zhu; Morgul, Omer, Stability and Stabilization of Infinite Dimensional Systems with Applications, Springer, 1999 
• Lasiecka, Irena; Triggiani, Roberto, Control Theory for Partial Differential Equations, Cambridge University Press, 2000 
• Bensoussan, Alain; Da Prato, Giuseppe; Delfour, Michel; Mitter, Sanjoy, Representation and Control of Infinite Dimensional Systems second, Birkhauser, 2007