利萨茹曲线

数学上，利萨茹（Lissajous）曲线（又称利萨茹图形、李萨如图形或鲍迪奇（Bowditch）曲线）是两个沿着互相垂直方向的正弦振动的合成的轨迹。

纳撒尼尔·鲍迪奇在1815年首先研究这一族曲线，朱尔·利萨茹在1857年作更详细研究。

数学定义

利萨茹曲线由以下参数方程定义：

{\begin{cases}x(\theta )=a\sin(\theta )\\y(\theta )=b\sin(n\theta +\phi )\end{cases}}

其中 $0\leq \phi \leq {\frac {\pi }{2}}$ ， $n\geq 1\,$ 。

$n$ 称为曲线的参数，是两个正弦振动的频率比。若比例为有理数，则 $n={\frac {q}{p}}\,$ ，参数方程可以写作：

{\begin{cases}x(\theta )=a\sin(p\theta )\\y(\theta )=b\sin(q\theta +\phi )\\0\leq \theta \leq 2\pi \end{cases}}

，

其中 $0\leq \phi \leq {\frac {\pi }{2p}}$ 。

若 $n$ 为无理数，曲线在长方形 $[-a,a]\times [-b,b]$ 中稠密。
若 $n$ 为有理数，
- 曲线是 $2q$ 次代数曲线若 $\phi \in \left(0,{\frac {\pi }{2p}}\right]$ 对奇数 $p$ ，或 $\phi \in \left[0,{\frac {\pi }{2p}}\right)$ 对偶数 $p$ 。
- 曲线是 $q$ 次代数曲线的一部分若 $\phi =0\,$ 对奇数 $p$ ，或 $\phi ={\frac {\pi }{2p}}$ 对偶数 $p$ 。

若 $n$ 为偶数而 $\phi ={\frac {\pi }{2}}$ ，或若 $n$ 为奇数而 $\phi =0\,$ ，则曲线是第 $n$ 个切比雪夫多项式 $T_{n}$ 的曲线的一部分。

若 $a=b$ ， $n=1$ ，则曲线是椭圆。
- 若 $\phi ={\frac {\pi }{2}}$ ，则这椭圆其实是圆。
- 若 $\phi =0\,$ ，则这椭圆其实是线段。
若 $a=b$ ， $n=q=2$ （所以 $p=1$ ），则曲线是besace。
- 若 $\phi ={\frac {\pi }{2}}$ ，则这besace是抛物线一部分。
- 若 $\phi =0\,$ ，则这besace是一个热罗诺双纽线。

以下是利萨茹曲线的例子，其中 $\phi =0$ ， $a=b$ , $p$ 是奇数， $q$ 是偶数， $|p-q|=1$ 。