加法单位元

在数学里，一个具有加法运算的集合中的加法单位元，是指不论它加上任何一个在此集合内的元素x都会等于x的元素。

基本例子

• 初等数学中所熟悉的加法单位元为0。

如：

5 + 0 = 5 = 0 + 5.

• 在自然数N和其所有的父集(整数Z、有理数Q、实数R、复数C)内，其加法单位元皆为0。所以对于任何一个数n，

n + 0 = n = 0 + n.

形式定义

令N是一个在加法运算下封闭的集合。N的加法单位元即为任一个能使所有在N内的元素n有下列公式的元素e：

e + n = n = n + e.

更多例子

• 在一个群里，加法单位元即是这个群的单位元，通常标记做0，并且是唯一的(见下面证明)。

• 一个环或一个体也会是一个在加法运算下的群，因此它们也会有一个唯一的加法单位元0。它被定义必须和乘法单位元1不同，若环(或体)有两个以上的元素时。如果加法单位元和乘法单位元是同一个的话，这个环则会是当然的(见下面证明)。

• 在一个于群G上的m乘n阶矩阵所组成的群M_m×n(G)里，其加法单位元标记为0，且会是个其元素都是在G内的单位元0的m乘n矩阵。例如，在一个于整数上的2阶方阵M₂(Z)里，其加法单位元为

$0={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}$.

证明

加法单位元在一个群里是唯一的

令(G,+)是一个群，且设0和0'是在G内的两个加法单位元，则对于所有在G内的g而言，

0 + g = g = g + 0 且 0' + g = g = g + 0'.

由上可得

(0') = (0') + 0 = 0' + (0) = (0)

故可证明 0 = 0'。

加法和乘法单位元在一个非平凡环里是不同的

令R是一个环，且假设加法单位元0和乘法单位元1会相等，即0=1。设r为于R内的任一元素，则

r = r × 1 = r × 0 = 0

其表示R必须是平凡的，亦即R={0}。再依照换质位法，即可得出若R不是平凡的，则0不会等于1的结论。

另见

• 加法逆元
• 单位元
• 乘法单位元

外部链接

• 加法单位元在一个环里的唯一性 at PlanetMath.
• Margherita Barile. 加法單位元. MathWorld. 

参考文献

• David S. Dummit, Richard M. Foote, Abstract Algebra, Wiley (3d ed.): 2003, ISBN 0-471-43334-9.