对数凸函数

对数凸函数或超凸函数为一种定义在实数向量空间中凸集内，且其值为正数的函数f，若 ${\log }\circ f$（函数f取对数后的数值）仍为凸函数，原函数即为对数凸函数。对数函数会大幅降低函数成长的速率，因此若取对数后仍为凸函数，表示函数上升的速度比凸函数还快，因此会称为超凸函数。

对数凸函数f 本身是凸函数，因为这是递增凸函数$\exp$及$\log \circ f$（依定义是凸函数）的复合函数。但凸函数和对数的复合函数不一定都是凸函数。像$g:x\mapsto x^{2}$是凸函数，但${\log }\circ g:x\mapsto \log x^{2}=2\log |x|$不是凸函数，因此$g$不是对数凸函数。另一方面，$x\mapsto e^{x^{2}}$是对数凸函数因为$x\mapsto \log e^{x^{2}}=x^{2}$是凸函数。

像在正实数上的Γ函数就是对数凸函数（参见波尔-莫勒鲁普定理）。

参考资料

• John B. Conway. Functions of One Complex Variable I, second edition. Springer-Verlag, 1995. ISBN 0-387-90328-3.
• Stephen Boyd and Lieven Vandenberghe. Convex Optimization. Cambridge University Press, 2004. ISBN 9780521833783.

相关条目

• 对数凹函数

logarithmically convex function at PlanetMath.