悬链线

悬链线（Catenary）是一种常用曲线，物理上用于描绘质量均匀分布而不可延伸的长链悬挂在两支点间，因均匀引力作用下而形成向下弯曲之曲线，因此而得名。

虽然弯曲的形状看似二次方的抛物线，但是1638年在伽利略的《Two New Sciences》中证明因为绳子的张力会随着吊挂重量的不同，在底端为最小、愈高的地方愈大，如此一来，它所形成的形状就不是抛物线。

随后在1670年胡克根据力学推导出悬链线的数学特性。1691年莱布尼兹、惠更斯、约翰·白努利近一步推导出数学模型。

它的公式为：

y=a\cosh {\frac {x}{a}}

或者简单地表示为

y={\frac {a\left(e^{\frac {x}{a}}+e^{-{\frac {x}{a}}}\right)}{2}}

其中cosh是双曲余弦函数， $a$ 是一个由绳子本身性质和悬挂方式决定的常数， $x$ 轴为其准线。具体来说， $a={\frac {T_{0}}{g\lambda }}$ ，其中 $g$ 是重力加速度， $\lambda$ 是线密度（假设绳子密度均匀），而 $T_{0}$ 是绳子上每一点处张力的水平分量，它取决于绳子的悬挂方式；若绳子两端在同一水平面上，则下面的方程决定了 $a$

{\frac {L}{a}}=\sinh {\frac {d}{a}}

其中L是绳子总长的一半，d是端点距离的一半。

方程的推导

表达式的证明

如右图，设最低点 $A$ 处受水平向左的拉力 $H$ ，右悬挂点处表示为 $C$ 点，在 $AC$ 弧线区段任意取一段设为 $B$ 点，则 $AB$ 受一个斜向上的拉力 $T$ ，设 $T$ 和水平方向夹角为 $\theta$ ，绳子的质量为 $m$ ,受力分析有：

$T\sin \theta =mg$ ；

$T\cos \theta =H$ ，

$\tan \theta ={\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}={\frac {mg}{H}}$ ，

$mg=\rho s$ ，　其中 $s$ 是右段 $AB$ 绳子的长度， $\rho$ 是绳子线重量密度， $\tan \theta$ 为切线方向，记 $a={\frac {\rho }{H}}$ , 代入得微分方程 ${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=as$ ;

利用弧长公式 $\mathrm {d} s={\sqrt {1+({\dfrac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}})^{2}}}\mathrm {d} x$ ;

所以 $s=\int {\sqrt {1+({\dfrac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}})^{2}}}\mathrm {d} x$ ;

再把 $s$ 代入微分方程得 ${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=a\int {\sqrt {1+({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}})^{2}}}{\mathrm {d} x}\ \cdots \cdots \ (1)$