截角三角化四面体

截角三角化四面体
	; （点选观看旋转模型）
类别	凸多面体
对偶多面体	六角化截角四面体
数学表示法
康威表示法	t6kT; dk6tT
性质
面	16
边	42
顶点	28
欧拉特征数	F=16, E=42, V=28 （χ=2）
组成与布局
顶点布局; （英语：Vertex_configuration）	4个(5.5.5); 24个(5.5.6)
对称性
对称群	Td群
图像
; 六角化截角四面体; （对偶多面体）	; （展开图）
	查; 论; 编;

截角三角化四面体（truncated triakis tetrahedron）或更精确地称为截六阶角三角化四面体（order-6 truncated triakis tetrahedron）是一种凸十六面体，由12个五边形和4个六边形所组成^[1]，其有4组五边形，每组有三个，并以四面体的边和面之关系排列，原属于四面体顶点的部分在此立体中则为六边形。

一些化学物质的晶格之原子排列方式能构成截角三角化四面体。^[2]

构造

截六阶角三角化四面体可以透过截去三角化四面体的6个六阶顶点（六面角）来构造，这个动作建立了4个正六边形，并留下12个镜像对称的五边形。

三角化四面体

拓扑结构类似的等边多面体可以通过使用12个正五边形、4个等边但非平面六边形来构造，每个顶点与内部的角度在108度和132度之间的交替。

由于其大部分的面十分接近正多边形，因此也被归类为拟约翰逊多面体^[3]。

性质

截角三角化四面体可以分成三种形式，一种是标准的截角形式，这种形式有两种边长，短边长与长边长的比为 ${\frac {3+{\sqrt {3}}}{5}}$ 约为0.94641^[4]；另一种形式是五边形面由1长边和4短边组成的截角三角化四面体，在这种形式中，短边长与长边长的比为 ${\frac {3\left(5+{\sqrt {3}}\right)}{22}}$ 约为0.918^[5]^{[注 2]}；还有一种形式是存在外接球的形式，也就是所有顶点共球的形式，在这种形式中，短边长与长边长的比为 ${\frac {\sqrt {3}}{2}}$ ，约为0.866^[6]^{[注 4]}。每种形式的截角三角化四面体都有16个面、42条边和28个顶点。

体积

标准的截角形式之截角三角化四面体，若其长边长为单位长，则其体积为：^[4]^[7]^:483

{\frac {111{\sqrt {2}}+50{\sqrt {6}}}{20}}\approx 13.9726

五边形面由1长边和4短边组成的截角三角化四面体，若其短边长为单位长，则其体积为：^[5]

{\frac {125{\sqrt {2}}+39{\sqrt {6}}}{18}}\approx 15.128155

存在外接球的形式之截角三角化四面体，若其外接球半径为单位长，则其体积为：^[6]

{\frac {1288{\sqrt {3}}}{729}}\approx 3.060194

截三阶角三角化四面体

三角化四面体一共有两种顶点，分别为6阶顶点和3阶顶点；属于拟约翰逊多面体的截角三角化四面体仅截去了6阶顶点，因此又称为截六阶角三角化四面体。另一种截三阶角三角化四面体则是截去3阶顶点的截角三角化四面体，称为截三阶角三角化四面体（order-3 truncated triakis tetrahedron）。

截三阶角三角化四面体的外观为每个面叠上三角锥台的四面体，由12个梯形和4个三角形组成，也是一种十六面体。其对偶多面体为三角化截角四面体，是一种空间填充多面体^[8]^[9]。

完全截角三角化四面体

三角化四面体一共有两种顶点，分别为6阶顶点和3阶顶点；属于拟约翰逊多面体的截角三角化四面体仅截去了6阶顶点，因此又称为截六阶角三角化四面体。真正的截角三角化四面体是指将6阶顶点和3阶顶点全部截去的三角化四面体，截完后的结果是一个不规则的二十面体。

六角化截角四面体

六角化截角四面体的旋转模型

截六阶角三角化四面体的对偶多面体称为六角化截角四面体，其可以透过在截角四面体的每个六边形上叠上六角锥构成。六角化截角四面体无法成为约翰逊多面体，因为若要保持所有面都是正多边形时，在截角四面体的每个六边形上叠上的六角锥之侧面会互相共面而成为非严格凸的多面体。

若截角四面体叠上的六角锥之顶点正好位于其外接球，则当截角四面体的边长为单位长时，六角锥的侧面三角形的腰长为：^[10]

{\frac {\sqrt {11-{\sqrt {33}}}}{2}}\approx 1.146237

截角四面体	六角化截角四面体	展开图

注释

^ Wolfram, Stephen. "3/(5-sqrt(3))". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research （英语）.
^ 来源给出的结果为长边长为 ${\frac {5-{\sqrt {3}}}{3}}$ 、短边长为1^[5]，故短边长与长边长的比1: ${\frac {5-{\sqrt {3}}}{3}}$ ，比值为 ${\frac {5-{\sqrt {3}}}{3}}$ 的倒数，其值为 ${\frac {3\left(5+{\sqrt {3}}\right)}{22}}$ ^{[注 1]}。
^ Wolfram, Stephen. "(2*sqrt(6)/9)/(4*sqrt(2)/9)". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research （英语）.
^ 来源给出的结果为长边长为 ${\frac {4{\sqrt {2}}}{9}}$ 、短边长为 ${\frac {2{\sqrt {6}}}{9}}$ ^[6]，故短边长与长边长的比为 ${\frac {2{\sqrt {6}}}{9}}:{\frac {4{\sqrt {2}}}{9}}$ ，比值为 ${\frac {\sqrt {3}}{2}}$ ^{[注 3]}。

参考资料

^ Lherbette, Michael and Redlingshöfer, Lisa and Brodsky, Frances M and Schaap, Iwan AT and Dannhauser, Philip N. The AP2 adaptor enhances clathrin coat stiffness. The FEBS journal (Wiley Online Library). 2019, 286 (20): 4074–4085 [2023-01-24]. （原始内容存档于2023-01-24）.
^ Morgan, Benjamin J. Mechanistic Origin of Superionic Lithium Diffusion in Anion-Disordered Li6PS5 X Argyrodites. Chemistry of Materials (ACS Publications). 2021, 33 (6): 2004–2018.
^ Johnson Solid Near Misses: Number 22. [2013-03-07]. （原始内容存档于2014-05-02）.
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^ ^6.0 ^6.1 ^6.2 David I. McCooey. Truncated Catalan Solids: 6-Truncated Triakis Tetrahedron (circumscribed). [2023-01-23]. （原始内容存档于2023-01-24）.
^ Apolinar, E.S. Illustrated Glossary for School Mathematics. Efrain Soto Apolinar. 2023 [2023-01-24]. ISBN 9786072941311. （原始内容存档于2023-01-17）.
^ Conway, John H.; Burgiel, Heidi; Goodman-Strauss, Chaim. The Symmetries of Things. 2008: 332. ISBN 978-1568812205.
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^ Richard Klitzing. hexakis truncated tetrahedron, hiktut. bendwavy.org. [2023-01-02]. （原始内容存档于2023-01-24）.

[8] Wolfram, Stephen. "3/(5-sqrt(3))". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research （英语）.

[9] 来源给出的结果为长边长为 ${\frac {5-{\sqrt {3}}}{3}}$ 、短边长为1^[5]，故短边长与长边长的比1: ${\frac {5-{\sqrt {3}}}{3}}$ ，比值为 ${\frac {5-{\sqrt {3}}}{3}}$ 的倒数，其值为 ${\frac {3\left(5+{\sqrt {3}}\right)}{22}}$ ^{[注 1]}。

[11] Wolfram, Stephen. "(2*sqrt(6)/9)/(4*sqrt(2)/9)". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research （英语）.

[12] 来源给出的结果为长边长为 ${\frac {4{\sqrt {2}}}{9}}$ 、短边长为 ${\frac {2{\sqrt {6}}}{9}}$ ^[6]，故短边长与长边长的比为 ${\frac {2{\sqrt {6}}}{9}}:{\frac {4{\sqrt {2}}}{9}}$ ，比值为 ${\frac {\sqrt {3}}{2}}$ ^{[注 3]}。

[article_lherbette2019ap2-3] Lherbette, Michael and Redlingshöfer, Lisa and Brodsky, Frances M and Schaap, Iwan AT and Dannhauser, Philip N. The AP2 adaptor enhances clathrin coat stiffness. The FEBS journal (Wiley Online Library). 2019, 286 (20): 4074–4085 [2023-01-24]. （原始内容存档于2023-01-24）.

[article_morgan2021mechanistic-4] Morgan, Benjamin J. Mechanistic Origin of Superionic Lithium Diffusion in Anion-Disordered Li6PS5 X Argyrodites. Chemistry of Materials (ACS Publications). 2021, 33 (6): 2004–2018.

[5] Johnson Solid Near Misses: Number 22. [2013-03-07]. （原始内容存档于2014-05-02）.

[dmccooey_6TruncatedTriakisTetrahedron2-6] 4.0 ^4.1 David I. McCooey. Truncated Catalan Solids: 6-Truncated Triakis Tetrahedron (canonical). [2023-01-23]. （原始内容存档于2023-01-24）.

[dmccooey_6TruncatedTriakisTetrahedron1-7] 5.0 ^5.1 ^5.2 David I. McCooey. Truncated Catalan Solids: 6-Truncated Triakis Tetrahedron (pentagon sides: 1 long, 4 short). [2023-01-23]. （原始内容存档于2023-01-24）.

[dmccooey_6TruncatedTriakisTetrahedron3-10] 6.0 ^6.1 ^6.2 David I. McCooey. Truncated Catalan Solids: 6-Truncated Triakis Tetrahedron (circumscribed). [2023-01-23]. （原始内容存档于2023-01-24）.

[book_apolinar2023illustrated-13] Apolinar, E.S. Illustrated Glossary for School Mathematics. Efrain Soto Apolinar. 2023 [2023-01-24]. ISBN 9786072941311. （原始内容存档于2023-01-17）.

[conway2008-14] Conway, John H.; Burgiel, Heidi; Goodman-Strauss, Chaim. The Symmetries of Things. 2008: 332. ISBN 978-1568812205.

[15] Grünbaum, B; Shephard, G. C. Tilings with Congruent Tiles. Bull. Amer. Math. Soc. 1980, 3 (3): 951–973 [2023-01-24]. doi:10.1090/s0273-0979-1980-14827-2  . （原始内容存档于2016-03-03）.

[Richard_Klitzing-16] Richard Klitzing. hexakis truncated tetrahedron, hiktut. bendwavy.org. [2023-01-02]. （原始内容存档于2023-01-24）.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[注 2]

[6]

[注 4]

[7]

[8]

[9]

[10]

[注 1]

[注 3]