接近整数

趣味数学中,接近整数是指很接近整数无理数。这类数字中,有些因为其数学上的特性使其接近整数,有些还找不到其特性,看起来似乎只是巧合

Ed Pegg jr.先生发现上图中的线段d长度为,非常接近7(数值为7.0000000857)[1]

有关黄金比例及其他皮索特-维贾亚拉加文数

黄金比例 的高次方符合此特性。例如

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其中 代表费波纳契数列的第 

这是因为有恒等式 [注 1],所以当 为足够大的正整数时,

 

这些数字接近整数的原因和黄金比例的特性有关,不是数学巧合。其原因是因为黄金比例为皮索特-维贾亚拉加文数,而皮索特-维贾亚拉加文数的高次方会是接近整数。

这些数字与费波纳契数有密切的关系,因为费波纳契数相邻两项的比值会趋近于黄金比例,而如果m整除n,则第m个费波纳契数也会整除第n个费波纳契数。

皮索特-维贾亚拉加文数是指代数数本身大于1,而且其极小多项式中另一根的绝对值小于1。像黄金比例本身大于1, 的最小多项式为  

另一根为  

绝对值小于1,因此黄金比例为皮索特-维贾亚拉加文数,其高次方会是接近整数。

依照根和系数的关系,可得知

 

 

 可以用  来表示,由于二根之和及二根之积均为整数,计算所得的结果也是一个正整数,假设为一正整数K,则 可以用下式表示

 

由于 的绝对值小于1,在n增大时,其高次方会趋于0,此时可得

 

除了黄金比例外,其他皮索特-维贾亚拉加文数的无理数也符合此一条件,例如 

有关黑格纳数

以下也是几个非巧合出现的接近整数,和最大三项的黑格纳数有关:

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以上三式可以用以下的式子表示[2]:

 
 
 

其中:  由于艾森斯坦级数的关系,使得上式中出现平方项。常数 有时会称为拉马努金常数

有关π及e

许多有关πe的常数也是接近整数,例如

 

以及

 

格尔丰德常数 )接近 ,至2011年为止还没找到出现此特性的原因[1],因此只能视为一数学巧合。另一个有关格尔丰德常数的常数也是接近整数  

以下也是一些接近整数的例子

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其他例子

       
       
       
       
       
       
       
       
 
 
  ,其中 辛钦常数
 


 


 
 


 
 


 
  •  ,这是由于 的缘故,另一个类似的例子为 
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外部链接

注释

  1. ^ 此式可利用数学归纳法与性质 证明。

参考资料

  1. ^ 1.0 1.1 Eric Weisstein, "Almost Integer"页面存档备份,存于互联网档案馆) at MathWorld
  2. ^ 存档副本. [2011-09-17]. (原始内容存档于2009-08-11).