控制变量法

控制变量法(英语:control variates)是在蒙特卡洛方法中用于减少方差的一种技术方法。该方法通过对已知量的了解来减少对未知量估计的误差。

原理

假设要估计的参数为 。同时对于统计 ,其期望值  ,即  无偏差估计。此时,对于另一个统计 ,已知 。于是,

 

也是 的无偏差估计, 为任一给定系数。 的方差为

 

可以证明,使得方差最小的系数 

 

此时,对应的方差则为

 

其中

 

  之间的相关系数 越大时,方差越小。

   未知时,可以通过蒙特卡洛模拟进行估计。由于该方法相当于一个最小二乘法系统,又被称为回归抽样regression sampling)。

示例

假设我们要使用蒙特卡洛方法估计

 

即估计

 

的期望值。其中, 满足均匀分布。假设有n样本 ,该估计可表示为

 

此时,我们引入控制变量 ,其已知期望值为 。由此,可以得到新的估计

 

以下为 并使用估计的最优系数 时,一次蒙特卡洛模拟所给出的积分估计值:

估计 标准差
普通模拟 0.69475 0.01947
控制变量法 0.69295 0.00060

参考文献

  • Ross, Sheldon M. (2002) Simulation 3rd edition ISBN 978-0-12-598053-1
  • Averill M. Law & W. David Kelton (2000), Simulation Modeling and Analysis, 3rd edition. ISBN 0-07-116537-1
  • S. P. Meyn (2007) Control Techniques for Complex Networks, Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88441-9. Downloadable draft (Section 11.4: Control variates and shadow functions)