李氏括号

此条目介绍的是李括号在向量场中的应用。关于其他应用下的李括号，请见“李代数”。

向量场中的李括号，于微分拓朴的数学领域下，称为Jacobi–李括号或向量场的交换子，是在一微分流形M中作用在任意两个向量场X 与 Y的算子，此一算子作用后也会形成向量场，以[X, Y]标示。

李括号 [X, Y] 在概念上是沿着由X生成向量流的Y微导，常写为 ${\mathcal {L}}_{X}Y$ ("沿着 X 的Y 李微导")。这可以推广到沿着由X生成的流上任意张量场的李导数。

李括号是个R-双线性算子，且将所有在流形M 的光滑向量体转成（无限维）李代数。

李括号在微分几何与微分拓朴中相当重要，例如在作为非线性控制几何理论基础的弗罗贝尼乌斯定理中就可看到李括号。

定义

李括号有下列三种定义，这三种定义不同，但是等价：

作为微导的向量场

在一流形M上的所有平滑向量场X 可以视为作用在C^∞(M)的平滑函数 微分算子。的确，每个向量场 X 可成为在C^∞(M) 上的微分算子（导子），因此可定义 X(f) 的函数，计算函数在方向X(p)上点p的f值方向导数，更进一步，于C^∞(M)的任意微导都是源于唯一的平滑向量场X。

一般来说，任意两微导 $\delta _{1}$ 与$\delta _{2}$的 交换子 $\delta _{1}\circ \delta _{2}-\delta _{2}\circ \delta _{1}$ 亦是微导，当中 $\circ$ 为算子之组合。$f\in C^{\infty }(M)$能用于定义关乎微导交换子向量场的李括号：

$[X,Y](f)=X(Y(f))-Y(X(f))$.

流与极限

令$\Phi _{t}^{X}$ 为关乎向量场 X 的流 及 D 表示切线图导数算子（tangent map derivative operator），那么在点x ∈ M的 X 与Y 的李括号可以定义为 李导数：

$[X,Y]_{x}\ =\ ({\mathcal {L}}_{X}Y)_{x}\ :=\ \lim _{t\to 0}{\frac {(\mathrm {D} \Phi _{-t}^{X})Y_{\Phi _{t}^{X}(x)}\,-\,Y_{x}}{t}}\ =\ \left.{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right|_{t=0}(\mathrm {D} \Phi _{-t}^{X})Y_{\Phi _{t}^{X}(x)}.$

这也测量了连续方向的failure of the flow $X,Y,-X,-Y$ 至点 x:

$[X,Y]_{x}\ =\ \left.{\tfrac {1}{2}}{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}\right|_{t=0}(\Phi _{-t}^{Y}\circ \Phi _{-t}^{X}\circ \Phi _{t}^{Y}\circ \Phi _{t}^{X})(x)\ =\ \left.{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right|_{t=0}(\Phi _{\!-{\sqrt {t}}}^{Y}\circ \Phi _{\!-{\sqrt {t}}}^{X}\circ \Phi _{\!{\sqrt {t}}}^{Y}\circ \Phi _{\!{\sqrt {t}}}^{X})(x).$

以坐标表示

虽上述李括号的定义为内在的（和流形M上的座标选择无关)，但在实务上常常会想计算特定坐标系$\{x^{i}\}$下的李氏括号。可以令$\partial _{i}={\tfrac {\partial }{\partial x^{i}}}$，为切线束的相关局部基底，使得对平滑函数$X^{i},Y^{i}:M\to \mathbb {R}$而言，一般向量场能写成 $\textstyle X=\sum _{i=1}^{n}X^{i}\partial _{i}$与 $\textstyle Y=\sum _{i=1}^{n}Y^{i}\partial _{i}$。因此李括号可由以下方式计算：

$[X,Y]:=\sum _{i=1}^{n}\left(X(Y^{i})-Y(X^{i})\right)\partial _{i}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\left(X^{j}\partial _{j}Y^{i}-Y^{j}\partial _{j}X^{i}\right)\partial _{i}.$

若 M 是Rⁿ的某开子集，那么向量场X 与 Y 可以写成由平滑函数$X:M\to \mathbb {R} ^{n}$ 与$Y:M\to \mathbb {R} ^{n}$形式，且李括号$[X,Y]:M\to \mathbb {R} ^{n}$ 的表示式如下： $[X,Y]:=J_{Y}X-J_{X}Y$

此处之 $J_{Y}$ 与 $J_{X}$ 是 n×n 雅可比矩阵 乘上 n×1 栏向量 X 与 Y。

性质

向量场的李括号等同于所有在M（也就是切线束的平滑截 $TM\to M$) 上实向量空间$V=\Gamma (TM)$中的李代数的结构，表 [ • , • ] 为具以下性质之 $V\times V\to V$的映射：

• R-双线性形式
• 反对称性, $[X,Y]=-[Y,X]$
• 雅可比恒等式，$[X,[Y,Z]]+[Z,[X,Y]]+[Y,[Z,X]]=0.$

第二性质可马上推得对任意 $X$，会使具$[X,X]=0$成立。

更进一步说，李括号具有“乘积法则” 。 给定一平滑 (标量值) 函数 f 与在M上的向量场，由每点x ∈ M的标量乘向量Y_x后可以得到一个新的向量场fY ，如此：

• $[X,fY]\ =\ X\!(f)\,Y\,+\,f\,[X,Y],$

此处用向量场Y乘上标量函数 X(f) ，及向量场[X, Y]与标量函数 f 如此引导出一具李括号的向量场至李代数。

若X 与Y的李括号为零，表示在这些方向可以定义以X 与Y作为座标向量场而内嵌入于M之曲面：

定理: $[X,Y]=0\,$ 若且为若X 与 Y的流局部交换，此指对所有x ∈ M且足够小的s, t，$(\Phi _{t}^{Y}\Phi _{s}^{X})(x)=(\Phi _{s}^{X}\,\Phi _{t}^{Y})(x)$。

而这为弗罗贝尼乌斯定理的特例。

应用

在证明控制仿射无漂系统（driftless affine control system）的小时间局部可控制性（small-time local controllability、STLC）时，李氏括号是其中重要的一部分。

总结

如上所述，李导数可被视为广义的李括号。其他可视为是（向量值微分形式）广义李括号的有弗勒利歇尔－奈恩黑斯括号（Frölicher–Nijenhuis bracket）

相关条目

• 非完整系统
• 回授线性化

其他阅读

• Hazewinkel, Michiel (编), Lie bracket, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Isaiah, Pantelis, Controlled parking [Ask the experts], IEEE Control Systems Magazine, 2009, 29 (3): 17–21, 132, doi:10.1109/MCS.2009.932394 
• Khalil, H.K., Nonlinear Systems 3rd, Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 2002 [2019-08-03], ISBN 0-13-067389-7, （原始内容存档于2017-07-25） 
• Kolář, I., Michor, P., and Slovák, J., Natural operations in differential geometry, Springer-Verlag, 1993 [2019-08-03], （原始内容存档于2021-02-14）  Extensive discussion of Lie brackets, and the general theory of Lie derivatives.
• Lang, S., Differential and Riemannian manifolds, Springer-Verlag, 1995, ISBN 978-0-387-94338-1  For generalizations to infinite dimensions.
• Lewis, Andrew D., Notes on (Nonlinear) Control Theory (PDF) 
• Warner, Frank, Foundations of differentiable manifolds and Lie groups, New York-Berlin: Springer-Verlag, 1983 [1971], ISBN 0-387-90894-3