根系 (数学)

数学中,根系欧几里得空间中满足某些公理的向量配置。根系在李群李代数代数群理论中格外重要;而根系分类的主要工具──邓肯图,也见诸奇异性理论等与李群并无显著关系的学科。

定义

  为有限维实向量空间,并赋予标准的内积    中的根系是有限个向量(称为)构成的集合  ,满足下述条件:

 
<α, β> 的整性条件使得 β 必然落在所示各条垂直线上。再配合 <β, α> 的整性条件,在每条线上,其间交角只有两种可能。
  1.   的元素张出  
  2. 对任一  ,其属于   的标量倍数只有  
  3. 对任意  ,集合   在对   的反射之下不变。在此的反射是指
     
  4. (整性)若  ,则    方向的投影乘以2是   的整数倍,即:
     

根据性质三,整性等价于:对任意     仅差   的整数倍。此外,注意到性质四定义的尖积

 

并非一个内积,它未必对称,而且只对第一个参数是线性的。

根系  定义为   的维度。

给定两个根系  ,可考虑其正交直和  ,则   自然地构成其中的根系。若一个根系无法表成如此的组合(当然,假设  ),则称之为不可约的。

对两个根系  ,若存在其间的线性同构,使得   映至  ,则称它们为同构的根系。

对于根系  ,对根的反射生成一个群,称为该根系的外尔群。可证明此群在   上忠实地作用,因此必为有限群。

秩一与秩二的例子

秩为1的例子

在同构的意义下,秩一的根系仅有一种,由两个非零向量   组成。此根系记作  

秩为2的例子

秩二的根系有四种可能,对应于 ,其中 的情况[1]。注意根系并不由它生成的格所决定:  均生成正方形格,而    生成六边形格。这仅仅是五种可能的二维格中的两种。 图解如下:

   
根系 A1×A1
   
根系 A2
   
   
根系 B2
   
根系 G2
   
秩二之根系

   中的根系,而     中生成的子空间,则    中的根系。因此上述列表限制了任意秩根系中两根的几何关系,例如:任意两根的交角仅可能是    度。

正根与单根

对于根系  ,可以取定满足下述条件的正根子集  

  • 对每个根    中恰有一者属于  
  • 对任意  ,若  ,则  

正根的取法并不唯一。取定一组正根后,  的元素被称为负根

正根的选取等价于单根的选取。单根集是   中满足下述条件的子集  

任意   中的元素皆可唯一地表成   中元素的整系数线性组合,而且其系数或者全大于等于零,或者全小于等于零。

选定一组单根后,可定义相应的正根为展开式中系数大于等于零的根。如此可得到单根与正根选取法的一一对应。

以邓肯图分类根系

不可约根系与某类被称为邓肯图的间有一一对应关系。邓肯图的分类是简单的组合学问题,由此可导出不可约根系的分类定理。其构造方式如下:

给定一个不可约根系,选取一组单根。相应的邓肯图以这些单根为顶点。两个单根   若不垂直,则有   个边相连:若只有一个边,则不取定向,否则则取自长度   长者(称为长根)指向短者(称为短根)的有向边。

一个根系可以取多种不同的单根。然而,由于外尔群在这些选取上的作用是传递的,邓肯图的构造与单根的选取无关,它是根系内在的不变量。反之,给定具有相同邓肯图的两个不可约根系,可以按图配对单根及其间的内积,从而得到根系的同构。邓肯图给出的内积未必唯一,但至多差一个正常数倍,因而得到的根系是同构的 。

借此,可将不可约根系的分类问题化约到连通邓肯图的分类。若某个邓肯图来自于根系,则从其顶点与边定义的双线性形式必然是邓肯的;配上这个条件后,即可解决根系的分类。

邓肯图的分类列表详如下图。下标表示图中的顶点数,亦即相应根系的秩。

 
连通邓肯图一览

不可约根系的性质

      I  
An (n≥1) n(n+1)   n+1 (n+1)!
Bn (n≥2) 2n2 2n 2 2n n!
Cn (n≥3) 2n2 2n(n−1) 2 2n n!
Dn (n≥4) 2n(n−1)   4 2n−1 n!
E6 72   3 51840
E7 126   2 2903040
E8 240   1 696729600
F4 48 24 1 1152
G2 12 6 1 12

不可约根系依其邓肯图的种类命名。有四族根系: ,其下标分别取遍   的正整数,称为典型根系;剩下五种情形称为例外根系。下标表示根系之秩。在上表中,   表示短根的个数(若诸根同长,则皆视为长根),  表示其嘉当矩阵行列式,而   表示外尔群之阶。

不可约根系的构造方法及描述

An

   中满足   的点   所成之子空间。令    中长度为   的格子点。取   的标准基  ,则根具有   的形式,共有   个根。通常取单根为  

对垂直于  超平面的镜射在   上的作用是交换第   个座标。因此   的外尔群不外就是对称群  

  是李代数   的根系。

Bn

B4
 1 -1 0 0
0   1 -1 0
0 0   1 -1
0 0 0   1

 ,并令    中长度为   的格子点。共有   个根。通常取单根为   (短根)。

对短根   的反射即  

   仅差一个缩放,因此通常仅考虑   的情形。  是李代数   的根系。

Cn

C4
 1 -1 0 0
0   1 -1 0
0 0   1 -1
0 0 0   2

    中所有长度   的格子点与形如  的点,其中   是长度为一的格子点。共有   个根。通常取单根为   (长根)。

   仅差一个缩放加上旋转 45 度,因此通常仅考虑   的情形。  是李代数   的根系。

Dn

D4
 1 -1 0 0
0   1 -1 0
0 0   1 -1
0 0 1   1

    中长度   的格子点。共有   个根。通常取单根为   

  同构于  ,故通常仅考虑   的情形。  是李代数   的根系。

E8, E7, E6

  是较为特殊的根系。首先定义   中满足下述条件的点集  

  • 各座标均为整数,或均为半整数(不容相混)。
  • 八个座标的和为偶数。

定义    中长度为   的向量,即:

 

定义    与超平面   之交, 其中   是任取的根。同样步骤施于  ,得到更小的根系  。根系   分别有 72, 126 与 240 个根。若续行此化约步骤,则会得到典型根系  

E8:偶坐标
1 -1 0 0 0 0 0 0
0 1 -1 0 0 0 0 0
0 0 1 -1 0 0 0 0
0 0 0 1 -1 0 0 0
0 0 0 0 1 -1 0 0
0 0 0 0 0 1 -1 0
0 0 0 0 0 1 1 0
 ½  ½  ½  ½  ½  ½  ½  ½

另一种等价的描述是取   为:

  • 各坐标均为整数,而且其和为偶数;或
  • 各坐标均为半整数,而且其和为奇数。

   同构。将任意偶数个座标乘以负一,便可在两者间转换。  称为   的偶坐标系,  称为奇坐标系。

在偶坐标下,通常取单根为

 
 
 
E8:奇坐标
1 -1 0 0 0 0 0 0
0 1 -1 0 0 0 0 0
0 0 1 -1 0 0 0 0
0 0 0 1 -1 0 0 0
0 0 0 0 1 -1 0 0
0 0 0 0 0 1 -1 0
0 0 0 0 0 0 1 -1
 ½  ½  ½

在奇坐标下,通常取单根为

 
 ,其中
 

(在上述定义中,若改取  ,将得到同构的结果。若改取  ,将得到   。至于  ,其坐标和为零,而   亦然,所以张出的向量空间维度不合所求。

删去   可得到   的一组单根;再删去  ,可得   的单根。

由于对   垂直等价于前两个坐标相等,而对   垂直等价于前三个座标相等,不难导出   的明确定义:

E7 = (αZ7 ∪ (Z+½)7:αi2 + α12 = 2,∑αi + α1 ∈ 2Z),

E6 = (αZ6 ∪ (Z+½)6:αi2 + 2α12 = 2,∑αi + 2α1 ∈ 2Z)

F4

F4
1 -1 0 0
0 1 -1 0
0 0 1 0

对于  ,取  ,并令   为满足下述条件的向量:

  •  
  •   各坐标皆为奇数或皆为偶数。

此根系有   个根。通常取单根为   的单根再加上  

G2

G2
1  -1   0
-1 2 -1

  有 12 个根,构成一个六边形的顶点,详如秩二的例子一节所示。通常取单根为

  •  
  •  

在此沿用了之前的符号:  

根系与李群、李代数

不可约根系的分类可用于研究下述对象:

参考文献

引用

  1. ^ Hall 2015 Proposition 8.8

来源

  • Serre, J.-P., Jones, G. A., Complex Semisimple Lie Algebras (2001), Springer-Verlag, ISBN 3540678271
  • Serre, J.-P. Lie Algebras and Lie Groups (2005), Lecture Notes in Mathematics, no. 1500, Springer-Verlag, ISBN 3540550089 .
  • Dynkin, E. B. The structure of semi-simple algebras. (Russian) Uspehi Matem. Nauk (N.S.) 2, (1947). no. 4(20), 59–127.
  • Hall, Brian C., Lie groups, Lie algebras, and representations: An elementary introduction, Graduate Texts in Mathematics 222 2nd, Springer, 2015, ISBN 978-3319134666 

参见