波矢

本条目中，矢量与标量分别用粗体与斜体显示。例如，位置矢量通常用

\mathbf {r} \,\!

表示；而其大小则用

r\,\!

来表示。四维矢量用加有标号的斜体显示。例如，

{x}^{\mu }\,\!

或

{x}_{\mu }\,\!

。为了避免歧意，四维矢量的斜体与标号之间不会有括号。例如，

(x)^{2}\,\!

表示

x\,\!

平方；而

{x}^{2}\,\!

是

{x}^{\mu }\,\!

的第二个分量。

波矢是波的矢量表示方法。波矢是一个矢量，其大小表示波数（ $k=|{\mathbf {k} }|=2\pi /\lambda$ ），其方向表示波传播的方向。

波矢在狭义相对论背景下可定义为四维矢量。

定义

正弦波波长λ可以通过测量相位相同的任意相邻两点间的距离得到，这两点可以是相邻的波峰、波谷或是如图所示的零交点（英语：Zero crossing）。

当波行进时，给定点的值以正弦作正弦振动。

波矢有两种常见的定义，区别在于振幅因子是否乘以 $2\pi$ ，两种定义分别用于物理学和晶体学以及它们的相关领域。^[1]

理想的一维行波遵循如下方程：

\psi (x,t)=A\cos(kx-\omega t+\varphi )

其中：

此波在+x方向上行进，相速度为 $\omega /k$ 。

推广到三维情况下，方程为：

\psi \left({\mathbf {r} },t\right)=A\cos \left({\mathbf {k} }\cdot {\mathbf {r} }-\omega t+\varphi \right)

其中：

这一方程描述了平面波。一维情况下，波矢的大小是角波数 $|{\mathbf {k} }|=2\pi /\lambda$ 。波矢的方向是平面波行进的方向。

在晶体学中，描述相同的波的方程略有不同。^[2]在一维和三维情况下的方程分别为：

\psi (x,t)=A\cos(2\pi (kx-\nu t)+\varphi )

\psi \left({\mathbf {r} },t\right)=A\cos \left(2\pi ({\mathbf {k} }\cdot {\mathbf {r} }-\nu t)+\varphi \right)

。

不同点在于：

晶体学定义使用了频率 $\nu$ ，而不是角频率 $\omega$ ，由公式 $2\pi \nu =\omega$ ，二者可以相互转换。这种置换主要反映了在晶体学中的常见应用。
波数k以及波矢k的定义方式不同。此处的 $k=|{\mathbf {k} }|=1/\lambda$ ，而在物理学定义中， $k=|{\mathbf {k} }|=2\pi /\lambda$ 。

接近单色光的波包可以由波矢

k^{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)\,

准确描述，若明确的改写成共变和反变形式，则

k^{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}},k^{1},k^{2},k^{3}\right)\,

且

k_{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}},-k_{1},-k_{2},-k_{3}\right)\,

。

于是波矢的大小为

k^{2}=k^{\mu }k_{\mu }=k^{0}k_{0}-k^{1}k_{1}-k^{2}k_{2}-k^{3}k_{3}\,

={\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}-{\vec {k}}^{2}=0\,

最后一步等于零是因为对于真空中的光满足

k={\frac {\omega }{c}}\,

对波矢作洛伦兹变换可导出相对论性多普勒效应。洛伦兹矩阵定义为

\Lambda ={\begin{bmatrix}\gamma &-\beta \gamma &0&0\\-\beta \gamma &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}

。

在光被快速移动的波源激发的情况下，若要在地球坐标系（实验室坐标系）中检定光的频率，就要使用洛伦兹变换，如下所示。注意波源位于坐标系S ^s，地球位于观测系S ^obs。对波矢进行洛伦兹变换得到

k_{s}^{\mu }=\Lambda _{\nu }^{\mu }k_{\mathrm {obs} }^{\nu }\,

。

只考虑 $\mu =0$ 分量的情况，得到

k_{s}^{0}=\Lambda _{0}^{0}k_{\mathrm {obs} }^{0}+\Lambda _{1}^{0}k_{\mathrm {obs} }^{1}+\Lambda _{2}^{0}k_{\mathrm {obs} }^{2}+\Lambda _{3}^{0}k_{\mathrm {obs} }^{3}\,

。

${\frac {\omega _{s}}{c}}\,$	$=\gamma {\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{c}}-\beta \gamma k_{\mathrm {obs} }^{1}\,$
	$\quad =\gamma {\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{c}}-\beta \gamma {\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{c}}\cos \theta \,$ 其中 $\cos \theta \,$ 是 $k^{1}$ 关于 $k^{0}$ 的方向余弦 $k^{1}=k^{0}\cos \theta$ 。