狄利克雷卷积

在算术函数集上，可以定义一种二元运算，使得取这种运算为乘法，取普通函数加法为加法，使得算术函数集为一个交换环。其中一种这样的运算便是狄利克雷卷积。它和一般的卷积有不少相类之处。

对于算术函数$f,g$，定义其狄利克雷卷积$(f*g)(n)=\sum _{d|n}f(d)g({\frac {n}{d}})$。

取狄利克雷卷积为运算，积性函数集是算术函数集的子群。

运算

• 交换律$f*g=g*f$
• 结合律$(f*g)*h=f*(g*h)$
• 分配律$f*(g+h)=f*g+f*h=(g+h)*f$
• 存在单位函数ε使得$f=f*\epsilon =\epsilon *f$。ε(n)的值为1若n=1，否则ε(n)=0。
• 对于任意算术函数$f$，若$f(1)$不等于0，都有唯一的逆函数$f^{-1}$，使得$f*f^{-1}=\epsilon$。

$f^{-1}$的值如下：

$f^{-1}(1)={\frac {1}{f(1)}}$

对于$n>1$，$f^{-1}(n)={\frac {-1}{f(1)}}\sum _{d|n,n\neq d}f({\frac {n}{d}})f^{-1}(d)$

默比乌斯函数μ的逆函数为（一般意义上的）1，即对于$n\neq 1$，$\sum _{d|n}\mu (d)\times 1=0$。这是默比乌斯反演公式的原理。

狄利克雷卷积得名于数学家约翰·彼得·古斯塔夫·勒热纳·狄利克雷。1857年约瑟夫·刘维尔曾发表了许多包含这个运算的恒等式。将它视为二元运算这个观点由埃里克·坦普尔·贝尔和M.奇波拉1915年提出。

导数

若定义$f$的“导数”$f'(n)=f(n)\log(n)$，可以发现这个运算和连续实函数的导数有不少相似的地方：

• $(f+g)'=f'+g'$
• $(f*g)'=f*g'+f'*g$
• $(f^{-1})'={\frac {-f'}{f*f}}$

级数

对于算术函数$f$，定义其狄利克雷级数

$DG(f;s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}$

对于一些算术函数的狄利克雷级数，它们的积，跟那些算术函数的狄利克雷卷积的狄利克雷级数是相等的：

$DG(f;s)DG(g;s)=DG(f*g;s)\,$

这跟卷积定理很相似。

定义$f$的贝尔级数

$f_{p}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }f(p^{n})x^{n}.$

也有类似的关系：

• ${(f*g)_{p}}(x)=f_{p}(x)\times g_{p}(x)$

参考

• Introduction to Analytic Number theory, Tom M. Apostol
• http://eom.springer.de/D/d130150.htm （页面存档备份，存于互联网档案馆）