球面像差

球面像差（英语：SA/Spherical aberration），是指发生在经过透镜折射或面镜反射的光线，接近中心与靠近边缘的光线不能将影像聚集在一个点上的现象。这在望远镜和其他的光学仪器上都是一个缺点。这是因为透镜和面镜必须满足所需的形状，否则不能聚焦在一个点上造成的。球面像差与镜面直径的四次方成正比，与焦长的三次方成反比，所以他在低焦比的镜子，也就是所谓的“快镜”上就比较明显。

对使用球面镜的小望远镜，当焦比低于f/10时，来自远处的点光源（例如恒星）就不能聚集在一个点上。特别是来自镜面边缘的光线比来自镜面中心的光线更不易聚焦，这造成影像因为球面像差的存在而不能很清晰的成象。所以焦比低于f/10的望远镜通常都使用非球面镜或加上修正镜。

在透镜系统中，可以使用凸透镜和凹透镜的组合来减少球面像差，就如同使用非球面透镜一样。

球面像差。一个理想的镜面(顶端)，能经所有入射的光线汇聚在光轴上的一个点，但一个真实的镜面(底端)会有球面像差：靠近光轴的光线会比离光轴较远的光线较为紧密的汇聚在一个点上，因此光线不能汇聚在一个理想的焦点上(图较为夸张)
一个点光源在负球面像差(上) 、无球面像差(中)、和正球面像差(下)的系统中的成像情形。左面的影像是在焦点内成像，右边是在焦点外的成像
平行光束通过透镜后聚焦像的纵切面，上：负球面像差，中：无球面像差，下：正球面像差。镜子位于图的左侧
来自球面镜的球面像差

球面像差公式

单球面

一个球面，PA 为由球面顶点到非近轴光线入射点距离，球面左右介质的折射率分别为n，n'；非近轴入射角，折射角分别为J，J'；非近轴入射线和折射线与光轴的夹角分别为U，U'；近轴光线的入射角为i；这个球面对球面像差的贡献为^[1]

球面像差= ${\frac {-2*PA*sin(-(1/2)*J'+(1/2)*J)*sin((1/2)*J'-(1/2)*U)*n*i}{(n'*u'*sin(U))}}$

在四种情况下，球面像差为零：

PA=0：物体和像与球面顶点重合；
I'=I：物体和物象在球面的曲率中心；
i=0；
I=U'或I'=U：在这种情形下的球面成为消球差曲面。

消球差球面

根据球面折射的基本方程可以导出^[2]：

$L={\frac {r*(n+n')}{n}}$

$L'={\frac {r*(n+n')}{n'}}$

对于消球差曲面，凡是射向同一点B入射光，其折射线与光轴相交于一个共同点B'。

$BC=L-r=r*{\frac {n}{n'}}$

$BC=L'-r=r*{\frac {n'}{n}}$

例如，n=1，n'=1.5^[3]。

$L=2.5*r$

$L'=1.6667*r$

消球差曲面多用于高倍率显微镜的物镜^[4]^[3]。一个消球差薄透镜由一个消球差球面和一个平面镜组成，对于平行光。消球差薄透镜等同一块平板玻璃，对于聚合光束，消球差薄透镜增加光束的聚合度，对于发散光束，消球差薄透镜增加光束的发散度^[5]。

同轴球面系

对于一个由多个球面组成镜头，球面像差由以下公式给出^[6]：

LA'=trans+newsp

其中 trans= ${\frac {LA*n[1]*n'[1]*sin(U[1])}{(n'[k]*u'[k]*sin(U'[k]))}}$

newsp= $\sum _{k=1}^{k}({\frac {-2*PA*sin(-(1/2)*J'+(1/2)*J)*sin((1/2)*J'-(1/2)*U)*n*i}{(n'[k]*u'[k]*sin(U[k]))}}$

维基教科书中的相关电子教程：球面像差

球面像差展开式

球面像差可表示为

LA'= $a*Y^{2}+b*Y^{4}+c*Y^{6}+$ ………………^[7]^[8]。其中Y是入射光线的在球面入射点到光轴的距离。

球面像差
红线代表二次项，蓝线代表二次和四次项之和，黑线为二、四、六次项之和

薄透镜组的球面像差

亚历山大·尤金·康拉迪推导出薄透镜组的球面像差公式如下^[9]^[10]:

SC= ${\frac {y^{4}}{n_{0}'*u_{0}^{2}}}*\sum (G_{1}*c^{3}-G_{2}*c^{2}*c_{1}+G_{3}*c^{2}*v_{1}+G_{4}*c*c_{1}*v_{1}+G_{6}*c*v_{1}^{2})$ 。

其中“0”代表最后的结果，Σ代表对各镜片之和

c={\frac {1}{f*(n-1)}}

c={\frac {1}{r_{1}}}

G_{1}={\frac {n^{2}*(n-1)}{2}}

G_{2}={\frac {1}{2}}*(2*n+1)(n-1)

G_{3}={\frac {1}{2}}*(3n+1)(n-1)

G_{4}={\frac {1}{2*n}}*(n+2)(n-1)

G_{5}{\frac {1}{2*n}}*(n^{2}-1)

G_{6}={\frac {1}{2*n}}*(3*n+2)

薄透镜的球面像差

对于单薄镜片，上式可简化为^[11]。

单镜片的球面像差=LA'= $-y^{2}*l'^{2}*(\sum (G_{1}*c^{3}-G_{2}*c^{2}*c_{1}+G_{3}*c^{2}*v_{1}+G_{4}*c*c_{1}*v_{1}+G_{6}*c*v_{1}^{2})$

令上式对c_1的导数为零，可求得单镜片具有最小球面像差的条件^[12]:

${\frac {dLA'}{dc_{1}}}$ = $-y^{2}*l'^{2}*(-G_{2}*c^{2}+2*G_{4}*c*c_{1}-G_{5}*c*v_{1})=0$

即 $c_{1}={\frac {G_{2}c+G_{5}v_{1}}{2G_{4}}}$ = ${\frac {0.5*n*(2*n+1)*c+2*(n+1)*v_{1}}{n+2}}$ .

当物距为无穷远时，v_1=0;

于是

${\frac {c_{2}}{c_{1}}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}={\frac {2n-n-4}{n*(2n+1)}}$ ^[13]。


n	r_1/r_2
1.5	-6
1.518	-6.7374
1.6	-14
1.7	93.5
1.8	12.1765
2	5
3	1.9
4	1.5

参考文献

^ Kingslake p104
^ Rudolf Kingslake p104-105
^ ^3.0 ^3.1 Rudolf Kingslake p105
^ Moritz von Rohr p244
^ Rudolf Kingslake p106
^ Rudolf Kingslake p104
^ A.E.Conrady p101
^ Kingslake p114
^ Alexander Eugen Conrady, p95
^ Kingslake p117
^ Kingslake p118
^ Kingslake, p118
^ Kingslake p119

von Rohr莫里兹·冯·罗尔, Moritz. Geometrical Investigation of the Formation of Images in Optical Instruments. H.M.STATIONARY, LONDON. 1920.

Conrady亚历山大·尤金·康拉迪, Alexander Eugen. applied Optics & Optical design. DOVER PUBLICATION. 1957.

Kingslake 鲁道夫·京斯莱克, Rudolf. LENS DESIGN FUNDAMENTALS. ACADEMIC PRESS,NEW YORK. 1978. ISBN 012374301X.

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