相对论角动量

关于原本在牛顿力学中的同一物理量，参阅角动量。

相对论角动量是角动量在狭义相对论与广义相对论中的数学形式与物理概念，其与传统在经典力学中的（三维）角动量有些许差异 (GR)。

角动量是由位置与动量衍生出的物理量，其为一物体“转动程度”的测度，也反映出对于停止转动的阻抗性。此外，如同动量守恒对应到平移对称性，角动量守恒对应旋转对称性——诺特定理将对称性与守恒律联结起来。这些观念在经典力学中即相当重要，而在狭义与广义相对论中亦占有重要角色。透过抽象代数中的庞加莱群、洛伦兹群可描述角动量、四维动量以及其他时空中的对称的不变性。

在经典物理中不同类别的物理量，透过相对性原理在狭义与广义相对论中自然的统合：比如时间与空间结合为四维位置，能量与动量结合为四维动量。这些四维矢量与所使用的参考系相依，参考系之间的变换关系由洛伦兹变换来联系。相对论角动量的关系式则不那么明显…经典力学中的角动量定义为位置x与动量p的叉积，产生了一个赝矢量x×p；其亦可透过外积产生一个二阶反对称张量x∧p。

上述提到自然统合，在角动量的情形为何呢？在此有一不常提及的矢量——时变质量矩（英语：time-varying moment of mass），其非惯性矩，而是与质心的相对速度有关。时变质量矩与经典力学的角动量一起形成一个二阶反对称张量。对于旋转的质能分布（比如陀螺仪、行星、恒星、黑洞等），角动量张量与旋转物体的应力-能量张量有关。

在狭义相对论情形，在自转物体的静止系中有一内禀角动量，类似于量子力学中的自旋，差别在于本篇谈论对象是巨观物体，而量子力学的自旋粒子是点粒子不可分割。相对论量子力学中，自旋角动量算符与轨道角动量算符加总为总角动量算符，为一张量算符。通例上，这样的加总关系可以泡利—卢班斯基赝矢量来描述。

狭义相对论

一粒子具有质量m及瞬时三维位置x、瞬时三维动量p。其三维角动量，为一二重矢量（平面单元（plane element））及轴矢量。

轨道三维角动量

角动量的经典力学定义可沿用在狭义相对论与广义相对论，但需做一些调整。

叉积定义：赝矢量

经典力学中，一粒子的轨道角动量是由其瞬时三维位置矢量x = (x₁, x₂, x₃) = (x, y, z)与动量矢量p = (p₁, p₂, p₃) = (p_x, p_y, p_z)以叉积来定义的，其结果为一轴矢量：

$\mathbf {L} =\mathbf {x} \times \mathbf {p}$

其三个分量为：

$L_{3}=x_{1}p_{2}-x_{2}p_{1}$

$L_{1}=x_{2}p_{3}-x_{3}p_{2}$

$L_{2}=x_{3}p_{1}-x_{1}p_{3}\,.$

这个物理量可以加成。对孤立系统而言，总角动量是守恒的。然而这项定义只可用在三维空间——叉积定义出一个轴矢量，垂直于由x与p所架构出的平面。在四维的情形，不仅只一个轴可以垂直此二维平面，实际上有两个轴。

楔积定义：反对称张量

另一种定义将轨道角动量视为一个平面单元（plane element）。将叉积改成外代数中的楔积，角动量则变为逆变二阶反对称张量：

$\mathbf {L} =\mathbf {x} \wedge \mathbf {p}$

其分量为：

$L^{ij}=x^{i}p^{j}-x^{j}p^{i}=2x^{[i}p^{j]}$

指标i跟j的值为1、2、3。这些分量组合成一个3 × 3反对称矩阵：

${\begin{aligned}\mathbf {L} &={\begin{pmatrix}L^{11}&L^{12}&L^{13}\\L^{21}&L^{22}&L^{23}\\L^{31}&L^{32}&L^{33}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&L_{xy}&L_{xz}\\L_{yx}&0&L_{yz}\\L_{zx}&L_{zy}&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&L_{xy}&-L_{zx}\\-L_{xy}&0&L_{yz}\\L_{zx}&-L_{yz}&0\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}0&xp_{y}-yp_{x}&-(zp_{x}-xp_{z})\\-(xp_{y}-yp_{x})&0&yp_{z}-zp_{y}\\zp_{x}-xp_{z}&-(yp_{z}-zp_{y})&0\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

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