线丛

数学中，线丛（line bundle）表达了空间中在点之间变化的直线的概念。例如，平面中的曲线在每一点都有一条切线，这就确定了一条变化的直线：切丛是组织它们的一种方式。代数拓扑和微分拓扑中，线丛更正式的定义是秩为1的向量丛。^[1]

为空间中的每一点连续地选择一个1维向量空间，便确定了线丛。在拓扑学的应用中，这个向量空间通常是实或复的，而由于实向量空间与复向量空间的拓扑性质不同，两种选择将表现出根本上不同的行为：剔去实数线上的原点，就得到可逆1阶实方阵的集合。将正负实数分别收缩为一点，便可见它同伦等价于离散两点空间；而剔去复平面上的原点，就得到可逆1阶复矩阵的集合，与圆同伦等价。

因此从同伦论的角度看，实线丛的行为与具有两点纤维（two-point fiber）的纤维丛（即双覆盖）基本相同。微分流形的有向双覆盖是特例，对应的线丛是切丛的行列式丛（下详）。莫比乌斯带对应圆的双覆盖（θ → 2θ映射），改变纤维也可将其视作具有两点纤维、作为纤维的单位区间或实数线。复线丛与圆丛密切相关。有些著名的复线丛，如球面到球面的霍普夫纤维化。

代数几何中，可逆层（即秩为1的局部自由层）常称作线丛。

线丛由满足以下条件的除子产生：

(I) X是既约不可约概形，则每个线丛都来自一个除子

(II) X是射影概形，则同样成立

射影空间上的重言线丛

代数几何中最重要的线丛之一是射影空间上的重言线丛。域k上向量空间V的射影化 ${\boldsymbol {P}}(V)$ 定义为对乘法群 $k^{\times }$ 作用的商 $V\setminus \{0\}$ ，因此 ${\boldsymbol {P}}(V)$ 的每一点都对应一份 $k^{\times }$ ，可以构成 ${\boldsymbol {P}}(V)$ 上的 $k^{\times }$ -丛。 $k^{\times }$ 与k只差一个点，将该点与每条纤维邻接（adjoin），就得到了 ${\boldsymbol {P}}(V)$ 上的线丛，称作重言线丛（tautological line bundle），有时记作 ${\mathcal {O}}(-1)$ ，因为它对应于塞雷扭转层 ${\mathcal {O}}(1)$ 的对偶。

映射到射影空间

设X是空间，L是X上的线丛。L的全局截面是函数 $s:\ X\to L$ ，使得若 $p:\ L\to X$ 是自然射影，则 $ps={\rm {id}}_{X}$ 。在X中L为平凡的小邻域U内，线丛的总空间是U与底域k的积，截面s限制到函数 $U\to k$ 。而s的值取决于平凡化的选择，因此它们只取决于无处为0函数的乘法。全局截面以如下方式确定到射影空间的映射：在L的某纤维中择 $r+1$ 个不全为0的点，就能选择出 ${\boldsymbol {P}}^{r}$ 上重言线丛的纤维，因此选择L的 $r+1$ 个不同时为0的全局截面，就确定了X到射影空间 ${\boldsymbol {P}}^{r}$ 的映射。这个映射将L的纤维发送到重言丛的对偶的纤维。更具体地说，假设L的全局截面是 $s_{0},\ \dots ,\ s_{r}$ ，则在X的小邻域U内，这些截面确定了U上的k值函数，具体取值取决于平凡化的选择。不过，它们取决于同非零函数的同时乘法，因此其比是良定义的。也就是说，点x上的值 $s_{0}(x),\ \dots ,\ s_{r}(x)$ 不是良定义的，因为平凡化的改变会使它们各自乘一个非零常数λ；而只要截面 $s_{0},\ \dots ,\ s_{r}$ 不在x同时取0，就会使它们乘以同一个常数，于是齐次坐标>math>s_0(x):\ \dots\ :s_r(x)]</math>良定义。因此，若截面不同时为0，则它们确定的形式 $[s_{0}:\ \dots \ :s_{r}]$ 就给出X到 ${\boldsymbol {P}}^{r}$ 的映射，映射下重言丛的对偶的拉回是L。这样，射影空间就获得了一个泛性质。

确定到射影空间的映射，通用方法是映射到L所有截面的向量空间的射影化。拓扑情形中，每点都有不为0的截面，可用在小邻域之外为0的冲击函数（bump function）构造，这样得到的映射是处处定义的。然而到达域通常太大，没什么用。代数和全纯集情形则恰好相反：全局截面的空间通常是有限维的，但点上可能不存在任何非零全局截面（如此例中构造了一个莱夫谢茨铅笔）。事实上，丛有可能完全没有非零全局截面，如重言线丛。线丛足够丰沛时，这构造就验证了小平嵌入定理。

行列式丛

一般来说，若V是空间X上的向量丛、纤维维数恒为n，则V的n次纤维-纤维外幂是线丛，称作行列式线丛（determinant line bundle）。这种构造尤其适用于光滑流形的余切丛，得到的行列式丛是张量密度现象的根源，因为对有向流形，其有非零的全局截面，且张量幂的任意实指数都可定义，并通过张量积“扭曲”任意向量丛。

同样的构造（取顶级外幂）适用于诺特域上的有限生成射影模M，由此得到的可逆模称作M的行列式模。

示性类、万有丛与分类空间

第一施蒂费尔–惠特尼类分类了光滑实线丛。特别地，实线丛的（等价类的）集合对应于第一上同调的系数为 $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ 的元素。这种对应关系实际上是阿贝尔群同构（群运算是线丛的张量积与上同调上的普通加法）。类似，第一陈类分类了空间上的光滑复线丛，线丛群同构于系数为整数的第二上同调类。然而，丛可以有等价的光滑结构（于是有相同的第一陈类），而具有不同的全纯结构。利用流形上层的指数序列，可以很容易地证明陈类的陈述。

可以从同伦论角度更普遍地看待分类问题。实线丛和复线丛都有万有丛（universal bundle），根据分类空间的一般理论，启发式方法是寻找可收缩空间，其上各自的群 $C_{2}$ 、 $S^{1}$ 的群作用是自由作用。这些空间可作为万有主丛，作用的商则可作为分类空间BG。这些情形下，可在实、复射影空间的无限维类似空间中明确地找到这些空间。因此，分类空间 $BC_{2}$ 属于 ${\boldsymbol {RP}}^{\infty }$ 的同伦类， ${\boldsymbol {RP}}^{\infty }$ 是由齐次坐标的无限序列给出的实射影空间，携带着万有实线丛；从同伦论角度看，这意味着CW复形X上的任何实线丛L都确定了X到 ${\boldsymbol {RP}}^{\infty }$ 的分类映射，使L同构于万有丛的拉回。这一分类映射可用于从 ${\boldsymbol {RP}}^{\infty }$ 上的标准类定义X的系数属于 $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ 的第一上同调中L的施蒂费尔–惠特尼类。