赫尔维茨ζ函数

赫尔维茨ζ函数(Hurwitz zeta function)定义如下

复空间赫尔维茨ζ函数

$\zeta (s,q)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(q+n)^{s}}}.$

其中$q$、$s$都是复数，并且有$Re(q)>0$,$Re(s)>0$

对于给定的q,s,此函数可以扩展到 s≠1的亚纯函数.

黎曼ζ函数=$\zeta (s,1)$

级数展开

赫尔维茨ζ函数可以展开成级数：:

$\zeta (s,q)={\frac {1}{s-1}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}(q+k)^{1-s}.$

此级数在S空间的紧空间子集中均匀收敛成为一个整函数。

积分式

赫尔维茨ζ函数可以表示为下列梅林变换

$\zeta (s,q)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{s-1}e^{-qt}}{1-e^{-t}}}dt$

其中 $\Re s>1$ 及$\Re q>0.$

赫尔维茨公式

$\zeta (1-s,x)={\frac {1}{2s}}\left[e^{-i\pi s/2}\beta (x;s)+e^{i\pi s/2}\beta (1-x;s)\right]$

其中

$\beta (x;s)=2\Gamma (s+1)\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\exp(2\pi inx)}{(2\pi n)^{s}}}={\frac {2\Gamma (s+1)}{(2\pi )^{s}}}{\mbox{Li}}_{s}(e^{2\pi ix})$

对于 $0\leq x\leq 1$ and s > 1成立，其中 ${\text{Li}}_{s}(z)$代表 多重对数.

泰勒展开

赫尔维茨ζ函数的导数是平移：

${\frac {\partial }{\partial q}}\zeta (s,q)=-s\zeta (s+1,q).$

因此赫尔维茨ζ函数的泰勒级数可表示为:

$\zeta (s,x+y)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {y^{k}}{k!}}{\frac {\partial ^{k}}{\partial x^{k}}}\zeta (s,x)=\sum _{k=0}^{\infty }{s+k-1 \choose s-1}(-y)^{k}\zeta (s+k,x).$

或

$\zeta (s,q)={\frac {1}{q^{s}}}+\sum _{n=0}^{\infty }(-q)^{n}{s+n-1 \choose n}\zeta (s+n),$

其中 $|q|<1$.

与Θ函数的关系

令$\vartheta (z,\tau )$ 代表 雅可比 Θ函數, 则

$\int _{0}^{\infty }\left[\vartheta (z,it)-1\right]t^{s/2}{\frac {dt}{t}}=\pi ^{-(1-s)/2}\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\left[\zeta (1-s,z)+\zeta (1-s,1-z)\right]$

对于 $\Re s>0$ and 复数z 成立，但对于 z=n 整数，则有

$\int _{0}^{\infty }\left[\vartheta (n,it)-1\right]t^{s/2}{\frac {dt}{t}}=2\ \pi ^{-(1-s)/2}\ \Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\zeta (1-s)=2\ \pi ^{-s/2}\ \Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s).$

其中 ζ 代表黎曼ζ函数.

推广

正整数m的赫尔维茨ζ函数与 多伽玛函数有下列关系:

$\psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}m!\zeta (m+1,z)\ .$

For negative integer −n the values are related to the Bernoulli polynomials:

$\zeta (-n,x)=-{\frac {B_{n+1}(x)}{n+1}}\ .$

The 巴恩斯ζ函数是赫尔维茨ζ函数的推广。

The 勒奇超越函数也是赫尔维茨ζ函数的推广:

$\Phi (z,s,q)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{(k+q)^{s}}}$

即：

$\zeta (s,q)=\Phi (1,s,q).\,$

赫尔维茨ζ函数与超几何函数的关系：

$\zeta (s,a)=a^{-s}\cdot {}_{s+1}F_{s}(1,a_{1},a_{2},\ldots a_{s};a_{1}+1,a_{2}+1,\ldots a_{s}+1;1)$其中 $a_{1}=a_{2}=\ldots =a_{s}=a{\text{ and }}a\notin \mathbb {N} {\text{ and }}s\in \mathbb {N} ^{+}.$

Meijer G函数

$\zeta (s,a)=G\,_{s+1,\,s+1}^{\,1,\,s+1}\left(-1\;\left|\;{\begin{matrix}0,1-a,\ldots ,1-a\\0,-a,\ldots ,-a\end{matrix}}\right)\right.\qquad \qquad s\in \mathbb {N} ^{+}.$

延伸阅读

• Davenport, Harold. Multiplicative number theory. Lectures in advanced mathematics 1. Chicago: Markham. 1967. Zbl 0159.06303. 
• Miller, Jeff; Adamchik, Victor S. Derivatives of the Hurwitz Zeta Function for Rational Arguments. Journal of Computational and Applied Mathematics. 1998, 100: 201–206 [2015-02-04]. doi:10.1016/S0377-0427(98)00193-9. （原始内容存档于2010-03-16）. 
• Vepstas, Linas. The Bernoulli Operator, the Gauss–Kuzmin–Wirsing Operator, and the Riemann Zeta (PDF). [2015-02-04]. （原始内容存档 (PDF)于2021-03-10）. 
• Mező, István; Dil, Ayhan. Hyperharmonic series involving Hurwitz zeta function. Journal of Number Theory. 2010, 130 (2): 360–369. doi:10.1016/j.jnt.2009.08.005.