Verma模

Verma模（Verma module）是李代数表示理论中的基本研究对象，其名取自Daya-Nand Verma。Verma模之间的态射相应于旗流形上的不变微分算子。

可用Verma模来证明以下命题：最高权为$\lambda$的最高权表示的维数有限，若且仅若$\lambda$是支配整权（dominant integral weight）。

Verma模的定义

设：

• $F$为一域；
• ${\mathfrak {g}}$，为$F$上一半单李代数；
  • ${\mathcal {U}}({\mathfrak {g}})$为其泛包络代数
  • ${\mathfrak {b}}$为其一Borel子代数
    • ${\mathcal {U}}({\mathfrak {b}})$为其泛包络代数
  • ${\mathfrak {h}}$为其一嘉当子代数
• $\lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}$为一固定之权。
• $F_{\lambda }$为$F$上的一维向量空间， 赋与${\mathfrak {b}}$-模结构：${\mathfrak {h}}$的作用为“乘以$\lambda$”，正根的作用为零。由于$F_{\lambda }$是一左${\mathfrak {b}}$－模，他同时亦是一左${\mathcal {U}}({\mathfrak {b}})$－模。
• 由Poincaré-Birkhoff-Witt定理，${\mathcal {U}}({\mathfrak {g}})$有一自然右${\mathcal {U}}({\mathfrak {b}})$－模结构。由于${\mathcal {U}}({\mathfrak {g}})$亦是一左${\mathfrak {g}}$－模， 所以是$({\mathfrak {g}},{\mathcal {U}}({\mathfrak {b}}))$-双模。
• 定义（最高权为$\lambda$之）Verma模 为

$M_{\lambda }={\mathcal {U}}({\mathfrak {g}})\otimes _{{\mathcal {U}}({\mathfrak {b}})}F_{\lambda }$

此自然地是一左${\mathfrak {g}}$－模。从Poincaré-Birkhoff-Witt定理可知：$M_{\lambda }$，作为一向量空间，同构于

${\mathcal {U}}({\mathfrak {g}}_{-})\otimes _{F}F_{\lambda }$

其中${\mathfrak {g}}_{-}$为${\mathfrak {g}}$之负根生成之子李代数。

基本性质

作为${\mathfrak {g}}$－模，Verma模是一最高权表示，即整个模由一最高权向量生成。此最高权向量是$1\otimes 1$的像（其中前$1$为${\mathcal {U}}({\mathfrak {g}})$之单位，后$1$为域$F$之单位元）；其权为$\lambda$。

Verma模是weight modules，即$M_{\lambda }$是其权子空间之直和。每一权子空间$M_{\mu }$是有限维的，其维度是$M_{\mu }$权$\lambda -\mu$写成正根之和之方法之数（参见Kostant partition function）。

Verma模有一重要性质：若$V$为任一最高权模，其最高权为$\lambda$，则存在一${\mathfrak {g}}$ 满射：$M_{\lambda }\to V$。换言之，任何最高权模都是$M_{\lambda }$的商模。

$M_{\lambda }$内存在唯一极大子模，而$M_{\lambda }$与此子模之商是不可约的。

Verma模$M_{\lambda }$本身不可约 若且仅若 当其最高权$\lambda$分解成基本权（fundamental weight）之和时，每一系数都不是$\{0,1,2,\ldots \}$。

称Verma模$M_{\lambda }$为regular，若其最高权λ位于一支配权${\tilde {\lambda }}$之仿射Weyl轨迹上。换言之，存在Weyl群的元素w，使

$\lambda =w\cdot {\tilde {\lambda }}$，

其中$\cdot$是Weyl群的仿射作用。

称Verma模$M_{\lambda }$为singular，若λ的仿射轨迹上无支配权。此时，存在权${\tilde {\lambda }}$使${\tilde {\lambda }}+\delta$落于基本Weyl室之墙上；（其 中δ为各基本权之和）。

Verma模之间的态射

设$\lambda ,\mu$为两权。若存在态射

$M_{\mu }\rightarrow M_{\lambda }$，

则${\mathfrak {g}}$的Weyl群$W$的 仿射作用$W$必然能把$\mu$带到$\lambda$。此为Harish-Chandra无限小中心特征标定理之一推论。

每一Verma模 态射都是单射。态射空间之维度

$dim(Hom(M_{\mu },M_{\lambda }))\leq 1$

其中$\mu ,\lambda$为任何两权。因此，存在一非零态射$M_{\mu }\rightarrow M_{\lambda }$若且仅若$M_{\mu }$ 同构于$M_{\lambda }$的一（唯一）子模。

Verma模态射的完整分类来自I.N.伯恩斯坦、I.M.盖尔芳特 与S.I.盖尔芳特 的工作与N. Verma的工作。简言之，

存在非零态射

$M_{\mu }\rightarrow M_{\lambda }$若且仅若 存在一串权

$\mu =\nu _{0}\leq \nu _{1}\leq \ldots \leq \nu _{k}=\lambda$

使得存在正根$\gamma _{i}$使$\nu _{i-1}+\delta =s_{\gamma _{i}}(\nu _{i}+\delta )$（其中$s_{\gamma _{i}}$是根反映（根系），而$\delta$是所有基本权之和）且对每一$1\leq i\leq k$，$(\nu _{i}+\delta )(H_{\gamma _{i}})$为一自然数（其中$H_{\gamma _{i}}$是根$\gamma _{i}$之对偶根（coroot））。

若Verma模$M_{\mu }$与$M_{\lambda }$俱为regular，则仅存支配权${\tilde {\lambda }}$与Weyl群元w, w′使

P$\mu =w'\cdot {\tilde {\lambda }}$

而且

$\lambda =w\cdot {\tilde {\lambda }},$

其中$\cdot$为Weyl群的仿射作用。设此等权是整权（integral weight）。存在非零态射

$M_{\mu }\to M_{\lambda }$

若且仅若，在Weyl群W 的Bruhat次序中，

$w\leq w'$。

Jordan-Holder序列

设

$0\subset A\subset B\subset M_{\lambda }$

为一${\mathfrak {g}}$－模序列，其中B/A为不可约表示，其最高权为μ。则存在非零态射$M_{\mu }\to M_{\lambda }$。

推论： 设$V_{\mu },V_{\lambda }$为二最高权表示。若

$V_{\mu }\subset V_{\lambda }$

则存在非零态射$M_{\mu }\to M_{\lambda }$。

伯恩斯坦-盖尔芳特-盖尔芳特 分解

设$V_{\lambda }$为李代数${\mathfrak {g}}$的一有限维不可约表示，其最高权为λ。我们已知：存在非零态射

$M_{w'\cdot \lambda }\to M_{w\cdot \lambda }$

若且仅若，在其Weyl群的Bruhat次序中，

$w\leq w'$。

以下定理描述如何分解$V_{\lambda }$成Verma模的正合序列。 （此定理出现于 伯恩斯坦-盖尔芳特-盖尔芳特1975年的论文）:

存在由${\mathfrak {g}}$－态射组成的正合序列

$0\to \oplus _{w\in W,\,\,l(w)=n}M_{w\cdot \lambda }\to \ldots \to \oplus _{w\in W,\,\,l(w)=2}M_{w\cdot \lambda }\to \oplus _{w\in W,\,\,l(w)=1}M_{w\cdot \lambda }\to M_{\lambda }\to V_{\lambda }\to 0$

其中n为Weyl群最长元之长度。

一般研究员简称其为“BGG分解”。 广义Verma模亦有类似分解。

近来有人研究此等分解之某些特例，以助理解抛物几何（parabolic geometries，嘉当几何之特例）上之不变微分算子。嘉当几何的定义依赖于一李群G与其抛物子群P。参阅、与。

参考

• Knapp, A. W. Lie Groups Beyond an troduction. Second Edition. (2002), page 285.
• Dixmier, J., Enveloping Algebras, North-Holland, Amsterdam, New York, Oxford, 1977
• Humphreys J., Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Springer Verlag, 1980
• Roggenkamp K., Stefanescu M., Algebra - Representation Theory, Springer, 2002

参见

• 李代数表示论
• 泛包络代数
• 广义Verma模
• 最高权表示

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