代数群

在代数几何中，一个代数群（或群簇）是一个拥有群结构的代数簇，其簇之乘与逆由正则函数提供。以范畴论描述，一个代数群是一个于代数簇范畴 (数学)中的群对象。

在数学中，域$k$上的代数群有几种等价的描述：

• 光滑$k$-代数簇范畴中的群对象。
• $\mathrm {Spec} (k)$上的分离、有限型群概形。
• 一个$k$-代数簇$G$配上$e:\mathrm {Spec} (k)\to G$（单位元）、$m:G\times G\to G$（群的二元运算）及$i:G\to G$（逆），使之满足群论所要求的公理。

可以将代数群设想为李群的代数几何版本，代数群一样有切空间及李代数，却没有指数映射（某些幂零群除外）；李群可以表成$\mathrm {R}$-代数群的覆叠空间。

代数群的典型例子包括$\mathrm {GL} (n)$及椭圆曲线。仿射代数群必可表为$\mathrm {GL} (n)$的子群，因此又称线性群。当$k$是完美域时，Chevalley定理断言：设$G$为$k$-代数群，则存在短正合序列

$1\to B\to G\to A\to 1$

在此$B$是线性群、$A$是阿贝尔簇。准此，线性群与阿贝尔簇是代数群的基本构件。既非线性亦非阿贝尔簇的典型例子是带奇点的代数曲线之广义雅可比簇$\mathrm {Pic} _{X/k}^{0}$。

参见

• 代数簇

文献

• Briand Conrad, A Modern Proof of Chevalley's Theorem on Algebraic Groups.
• Humphreys, J.E., Linear algebraic groups, Graduate Texts in Mathematics, No. 21. Springer-Verlag.
• Milne, J. S., Algebraic and Arithmetic Groups.（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Mumford, D., Abelian varieties, Tata Institute of Fundamental Research Studies in Mathematics, No. 5.
• Springer, T.A., Linear algebraic groups, 2nd. ed., Progress in Mathematics 9. Boston: Birkhäuser.
• Waterhouse, W.C., Introduction to Affine Group Schemes, Graduate Texts in Mathematics, No. 66. Springer-Verlag.
• Andre Weil, Variétés abéliennes et courbes algébriques. Paris: Hermann & Cie.