伪全纯曲线

拓扑学几何学中,伪全纯曲线(或J-全纯曲线)是黎曼曲面殆复流形光滑映射,并满足柯西-黎曼方程。伪全纯曲线在1985年由米哈伊尔·格罗莫夫提出,自此彻底改变了辛流形研究。特别是,它们导致了格罗莫夫–威滕不变量弗洛尔同调,并在弦理论中发挥了重要作用。

定义

X为殆复流形,具有殆复结构J。令C是光滑黎曼曲面(也叫复曲线),具有复结构jX中的伪全纯曲线是映射 ,满足柯西-黎曼方程

 

由于 ,这条件等价于

 

意味着微分 是复线性的,即J将每个切空间

 

映射到自身。出于技术原因,通常最好引入某种不齐次项 ,并研究满足微扰柯西-黎曼方程

 

的映射。更具体地说,满足这方程的伪全纯曲线可以叫做 -全纯曲线。扰动项 有时被假定为由哈密顿量生成的(特别是弗洛尔理论中),但一般来说不需要。

据定义,伪全纯曲线总是参数化的。在应用中,人们通常真正感兴趣的是未参数化的曲线,即X的嵌入(或浸入)双子流形,因此可通过保相关结构的域重参数化来进行模拟。在格罗莫夫–威滕不变量的情形下,我们只考虑固定亏格gC,并在C上引入n标记点(或称穿刺,puncture)。一旦标记点的欧拉示性数 为负,C就将只有有限多保标记点的全纯重参数化。域曲线C是曲线的德利涅-芒福德模空间的一个元素。

与经典柯西-黎曼方程的类比

经典情形是XC都是简单平面。实坐标中

 
 

其中 。将这些矩阵按两个不同阶数相乘后,立即得到方程

 

等价于经典柯西-黎曼方程

 

在辛拓扑中的应用

虽然伪全纯曲线可对任何殆复流形定义,但当J辛形式 相互作用时,伪全纯曲线尤其有趣。当且仅当殆复结构J满足,对所有非零切向量v

 

J -驯顺(tame)的。驯顺性意味着公式

 

X上定义了黎曼度量。格罗莫夫证明,对给定的  -驯顺J的空间非空、且是可收缩的。他用这一理论证明了关于球到圆柱的辛嵌入的非挤压定理

格罗莫夫证明,伪全纯曲线的特定模空间(满足附加的特定条件)是的,并描述了伪全纯曲线在只假定有限能量时退化的方式。(有限能量条件尤其适用于辛流形中有固定同调类的曲线,其中J -驯顺或 -相容的)。这一格罗莫夫紧性定理现在利用稳定映射得到了极大推广,使得格罗莫夫–威滕不变量的定义成为可能,它可以计算辛流形中的伪全纯曲线。

伪全纯曲线的紧模空间也用于构造弗洛尔同调安德烈斯·弗洛尔(及后来的学者,在更广的广义上)用它来证明弗拉基米尔·阿诺德关于哈密顿向量场定点数的著名猜想。

在物理学中的应用

在II类弦论中,我们考虑弦沿着卡拉比-丘3-流形中的路径运动时描绘的面。根据量子力学路径积分表述,我们希望计算所有此类面的空间的某些积分。这空间是无限维的,因此在数值上很难算出积分。不过,在A-twist下,我们可以推导出这些面由伪全纯曲线参数化,于是路径积分可简化为伪全纯曲线(更确切地说是稳定映射)模空间上的积分,是有限维的。例如,闭IIA型弦论中,这些积分正是格罗莫夫–威滕不变量

另见

参考文献

  • Dusa McDuff and Dietmar Salamon, J-Holomorphic Curves and Symplectic Topology, American Mathematical Society colloquium publications, 2004. ISBN 0-8218-3485-1.
  • Mikhail Leonidovich Gromov, Pseudo holomorphic curves in symplectic manifolds. Inventiones Mathematicae vol. 82, 1985, pgs. 307-347.
  • Donaldson, Simon K. What Is...a Pseudoholomorphic Curve? (PDF). Notices of the American Mathematical Society. October 2005, 52 (9): 1026–1027 [2008-01-17]. (原始内容存档 (PDF)于2024-01-12).