六进制

六进制是以6为底数的进位制。

整数

六进制使用从0到5的六个数字, 将6表示为“10”，将7表示为“11”，将8表示为“12”。至于幂数，100是十进制36，1000是十进制216，而10000是十进制1296。这是通常用于由六个组成的事物如骰子。

序列的进行如下。

0到30

六进制	0	1	2	3	4	5	10	11	12	13	14	15	20	21	22	23	24	25	30
十进制	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18

31到100

六进制	31	32	33	34	35	40	41	42	43	44	45	50	51	52	53	54	55	100
十进制	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32	33	34	35	36

230到300

六进制	230	231	232	233	234	235	240	241	242	243	244	245	250	251	252	253	254	255	300
十进制	90	91	92	93	94	95	96	97	98	99	100	101	102	103	104	105	106	107	108

在六进制系统中“5 +1 = 10”，因此“10÷2 = 3”和“10÷3 = 2”。因此，以3的倍数计数并除以3变得非常容易。在计数方法中，“七”变为“六一”(11)，“十二”变为“二六”(20)，“十八”变为“三六”(30)，“二十一”变为“三六三”(33)，“二十七”变为“四六三”(43)。

100（十进制36）之后的如下。

• 121 (1×6² + 2×6¹ + 1) = 十进制49
• 144 (1×6² + 4×6¹ + 4) = 十进制64
• 213 (2×6² + 1×6¹ + 3) = 十进制81
• 244 (2×6² + 4×6¹ + 4) = 十进制100
• 300 (3×6²) = 十进制108
• 345 (3×6² + 4×6¹ + 5) = 十进制137
• 451 (4×6² + 5×6¹ + 1) = 十进制175
• 500 (5×6²) = 十进制180
• 1000 (1×6³) = 十进制216
• 1104 (1×6³ + 1×6² + 0×6¹ + 4) = 十进制256
• 1405 (1×6³ + 4×6² + 0×6¹ + 5) = 十进制365
• 2000 (2×6³) = 十进制432
• 2521 (2×6³ + 5×6² + 2×6¹ + 1) = 十进制625
• 3213 (3×6³ + 2×6² + 1×6¹ + 3) = 十进制729
• 4344 (4×6³ + 3×6² + 4×6¹ + 4) = 十进制1000
• 5000 (5×6³) = 十进制1080
• 10000 (1×6⁴) = 十进制1296
• 13000 (1×6⁴ + 3×6³) = 十进制1944
• 13132 (1×6⁴ + 3×6³ + 1×6² + 3×6¹ + 2) = 十进制2000
• 24000 (2×6⁴ + 4×6³) = 十进制3456
• 35052 (3×6⁴ + 5×6³ + 0×6² + 5×6¹ + 2) = 十进制5000
• 40000 (4×6⁴) = 十进制5184
• 50213 (5×6⁴ + 0×6³ + 2×6² + 1×6¹ + 3) = 十进制6561
• 100000 (1×6⁵) = 十进制7776
• 101043 (1×6⁵ + 0×6⁴ + 1×6³ + 0×6² + 4×6¹ + 3) = 十进制8019
• 114144 (1×6⁵ + 1×6⁴ + 4×6³ + 1×6² + 4×6¹ + 4) = 十进制10000
• 120000 (1×6⁵ + 2×6⁴) = 十进制10368

幂乘

在六进制中，由于2与3的指数相同，因此可以表示为 "10ⁿ = 2ⁿ×3ⁿ"。 六与十都是两个素数的乘积，十的3×n乘（14^3×n）与六的4×n乘（10^4×n）彼此接近。因此，以十进制法分隔三位数字（例如公制）的系统将变为六进制法分隔四位数字。

六的幂

指数	六进制	十进制
1	10	6
2	100	36
3	1000	216
4	1 0000	1296
5	10 0000	7776
10	100 0000	4 6656
11	1000 0000	27 9936
12	1 0000 0000	167 9616
13	10 0000 0000	1007 7696
14	100 0000 0000	6046 6176
15	1000 0000 0000	3 6279 7056
20	1 0000 0000 0000	21 7678 2336
21	10 0000 0000 0000	130 6069 4016
22	100 0000 0000 0000	783 6416 4096
23	1000 0000 0000 0000	4701 8498 4576
24	1 0000 0000 0000 0000	2 8211 0990 7456
25	10 0000 0000 0000 0000	16 9266 5944 4736
30	100 0000 0000 0000 0000	101 5599 5666 8416

幂数表

指数	1	2	3	4	5	10	11	12	13	14	15	20
2	2	4	12	24	52	144	332	1104	2212	4424	13252	30544
3	3	13	43	213	1043	3213	14043	50213	231043	1133213	3444043	15220213
5	5	41	325	2521	22245	200201	1401405	12212241	105510125	545151121	4502320045	40120440401

素数

六进制的测定倍数

• 如果第一位是0，则该数字“可以被2和3整除”的数字，即10（六）的倍数。
• 如果第一位是3，则该数字“不可以被2整除, 但是以被3整除”的数字。
• 如果第一位是2或4，则该数字“可以被2整除, 但是不可被3整除”的数字。
• 如果第一位是1或5，则该数字“不能除以2或3整除”的数字。11（七）之后的素数首先是1或5。

六进制对于研究素数是很有用的，因为所有的素数，除了2和3以外，个位数都是1或5。在六进制中，最初的几个素数为：

$2_{6},3_{6},5_{6},11_{6},15_{6},21_{6},25_{6},31_{6},35_{6},45_{6},51_{6},$

$101_{6},105_{6},111_{6},115_{6},125_{6},\ldots$

也就是说，对于所有除了2和3以外的素数$p$都有$p\mod 6=1$或$p\mod 6=5$。另外，除了6以外，所有的完全数在六进制中都以44结尾。

分数

十进制 Prime factors of the base: 2, 5 Prime factors of one below the base: 3 Prime factors of one above the base: 11			六进制 Prime factors of the base: 2, 3 Prime factors of one below the base: 5 Prime factors of one above the base: 11
分数	分母	Positional representation	Positional representation	分母	分数
1/2	2	0.5	0.3	2	1/2
1/3	3	0.3333... = 0.3	0.2	3	1/3
1/4	2	0.25	0.13	2	1/4
1/5	5	0.2	0.1111... = 0.1	5	1/5
1/6	2, 3	0.16	0.1	2, 3	1/10
1/7	7	0.142857	0.05	11	1/11
1/8	2	0.125	0.043	2	1/12
1/9	3	0.1	0.04	3	1/13
1/10	2, 5	0.1	0.03	2, 5	1/14
1/11	11	0.09	0.0313452421	15	1/15
1/12	2, 3	0.083	0.03	2, 3	1/20
1/13	13	0.076923	0.024340531215	21	1/21
1/14	2, 7	0.0714285	0.023	2, 11	1/22
1/15	3, 5	0.06	0.02	3, 5	1/23
1/16	2	0.0625	0.0213	2	1/24
1/17	17	0.0588235294117647	0.0204122453514331	25	1/25
1/18	2, 3	0.05	0.02	2, 3	1/30
1/19	19	0.052631578947368421	0.015211325	31	1/31
1/20	2, 5	0.05	0.014	2, 5	1/32
1/21	3, 7	0.047619	0.014	3, 11	1/33
1/22	2, 11	0.045	0.01345242103	2, 15	1/34
1/23	23	0.0434782608695652173913	0.01322030441	35	1/35
1/24	2, 3	0.0416	0.013	2, 3	1/40
1/25	5	0.04	0.01235	5	1/41
1/26	2, 13	0.0384615	0.0121502434053	2, 21	1/42
1/27	3	0.037	0.012	3	1/43
1/28	2, 7	0.03571428	0.0114	2, 11	1/44
1/29	29	0.0344827586206896551724137931	0.01124045443151	45	1/45
1/30	2, 3, 5	0.03	0.01	2, 3, 5	1/50
1/31	31	0.032258064516129	0.010545	51	1/51
1/32	2	0.03125	0.01043	2	1/52
1/33	3, 11	0.03	0.01031345242	3, 15	1/53
1/34	2, 17	0.02941176470588235	0.01020412245351433	2, 25	1/54
1/35	5, 7	0.0285714	0.01	5, 11	1/55
1/36	2, 3	0.027	0.01	2, 3	1/100

因为6是最小的两个素数2和3的乘积，许多六进制的小数都有简单的表示法：

十进制

${\tfrac {1}{2}}$

${\tfrac {1}{3}}$

${\tfrac {1}{4}}$

${\tfrac {1}{5}}$

${\tfrac {1}{6}}$

${\tfrac {1}{7}}$

${\tfrac {1}{8}}$

${\tfrac {1}{9}}$

${\tfrac {1}{10}}$

${\tfrac {1}{11}}$

${\tfrac {1}{12}}$

${\tfrac {1}{14}}$

${\tfrac {1}{15}}$

${\tfrac {1}{16}}$

${\tfrac {1}{18}}$

${\tfrac {1}{20}}$

六进制

${\tfrac {1}{2}}$

${\tfrac {1}{3}}$

${\tfrac {1}{4}}$

${\tfrac {1}{5}}$

${\tfrac {1}{10}}$

${\tfrac {1}{11}}$

${\tfrac {1}{12}}$

${\tfrac {1}{13}}$

${\tfrac {1}{14}}$

${\tfrac {1}{15}}$

${\tfrac {1}{20}}$

${\tfrac {1}{22}}$

${\tfrac {1}{23}}$

${\tfrac {1}{24}}$

${\tfrac {1}{30}}$

${\tfrac {1}{32}}$

六进制(小数)

0.3

0.2

0.13

0.1

0.1

0.05

0.043

0.04

0.03

0.313452421

0.03

0.023

0.02

0.0213

0.02

0.014

六进制为2和3的同样的幂，因此很容易将它们分为2和3个除法。 2的幂的倒数变为3的幂，而3的幂的倒数变为2的幂。因而对于大多分母是3的幂的分数，六进制的表示形式更简短。

幂指数	-1	-2	-3	-4	-5	-10	-11	-12	-13	-14
2	0.3	0.13	0.043	0.0213	0.01043	0.003213	0.0014043	0.00050213	0.000231043	0.0001133213
3	0.2	0.04	0.012	0.0024	0.00052	0.000144	0.0000332	0.00001104	0.000002212	0.0000004424

指数法

六进制43 = 十进制27

如果拳头0，因为六种类型从0到5的数目可以在一个手来表示，六进制是方便用手指计数。

在这种方法中，一只手位于一的位，另一只手位于六的位, 计数到55（五六五 = 十进制35），100（十进制36）会导致数字溢出。例如，左手“1”和右手“5”表示“六五”即“十一”（六进制15 =十进制11）, 左手“4”和右手“3”表示“四六三”即“二十七”（六进制43 =十进制27）。

可以表示小数和假分数，如果一只手在"一"的位，另一只手在"六分之一"的位，则可以计算不超过5.5（5和5/6）的分数。 两位数的小数字的一只手放在"六分之一"的位，另一只手放在"三十六分之一"的位。例如，如果指示“44”，则除了“六进制44 = 十进制28”之外，还可以指示“4和2/3”(4和4/6 = 六进制4.4) 和“7/9”（十进制28/36 = 六进制0.44）。

用双手进行计数的十进制不能在15（十进制11）之后进行计数，并且可以分为2和5，但是不能分为3和4。但是，用双手计数的六进制最多可以计数55（十进制35），并且可以分为2和3，如果扩展为双手，则可以分为4和9(六进制13)。

三十六进制

主条目：三十六进制

在某些场合下，六进制的底数6可能太小，不便于使用。此时，若讲底数6扩充至6的平方，也就是36就能缓解此问题，这个进制就是三十六进制。由于36是6的平方，因此在三十六进制中，一个位数等于六进制的两个位数。并且两者存在一个一对一的转换，也就是说六进制和三十六进制之间可以透过以下对照表转换来完成：

十进制	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
六进制	0	1	2	3	4	5	10	11	12	13	14	15	20	21	22	23	24	25
三十六进制	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	G	H
十进制	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32	33	34	35
六进制	30	31	32	33	34	35	40	41	42	43	44	45	50	51	52	53	54	55
三十六进制	I	J	K	L	M	N	O	P	Q	R	S	T	U	V	W	X	Y	Z

三十六进制使用0-9和A-Z的符号来表示数。由于约定俗成用于表示数的阿拉伯数字与拉丁字母恰好用完，因此36也是最后一个有约定俗成表示方法的进制底数，底数高于36的进制如三十七进制就会面临符号不够用的问题，目前没有公认的模式来表达底数37或以上的进制，部分文献会把各个位数以十进制表示，并用冒号（:）分隔。

根据上表，例如三十六进制的数WIKIPEDIA₍₃₆₎（这串英文字母组合的意义是维基百科）在六进制中表示为523032304122213014₍₆₎，可以观察到，开头的52对应到W、30对应到I，以此类推。这个数在十进制中是91,730,738,691,298。

外部链接

• 六进制转换 （页面存档备份，存于互联网档案馆）