半双线性形式

数学中,在复数向量空间V上的半双线性形式是映射V × VC,它在一个参数上是线性的而在另一个参数上是反线性(半线性)的。比较于双线性形式,它在两个参数上都是线性的;要注意很多作者尤其是在只处理复数情况的时候,把半双线性形式称为双线性形式。

一个主要例子是在复数向量空间上的内积,它不是双线性的而是半双线性的。

定义和习惯

对哪个参数应当是线性的有不同的习惯。这里采用第一个是半线性(共轭线性)而第二个参数是线性。基本上所有物理学家皆使用这习惯,这习惯起源于狄拉克量子力学中使用的狄拉克符号。数学家则可能使用相反的习惯。

指定映射φ : V × VC是半双线性的,如果

 

对于所有x,y,z,wV和所有a, bC

半双线性形式可以被看作双线性形式

 

这里的 V复共轭向量空间。通过张量积的泛性质,它一一对应于(复数)线性映射

 

对于V中固定的z,映射 是在V上的线性泛函(也就是对偶空间V* 的一个元素)。类似的,映射 V上的共轭线性泛函

给定V上任何半双线性形式φ,我们可以通过共轭转置定义第二个半双线性形式ψ:

 

一般而言,ψ和φ是不同的。如果它们相等,则φ被称为Hermitian形式。如果它们相互为负值,则φ被称为斜-Hermitian形式。所有半双线性形式可以写为一个Hermitian形式和一个斜-Hermitian形式的和。

几何动机

双线性形式一般化了平方( ),而半双线性形式一般化了欧几里得范数 )。

关联于半双线性形式的范数在乘以复数圆(单位范数的复数)的乘法下是不变的,而关联于双线性形式的范数是(关于平方)等变的。双线性形式在代数上更加自然,而半双线性在几何上更加自然。

如果B是在复数向量空间上的双线性形式而  是关联的范数,则  

相反的,如果S是在复数向量空间上的半双线性形式而  是关联的范数,则  

埃尔米特形式

这个术语还称呼在埃尔米特流形上的特定微分形式

埃尔米特形式(也叫做对称半双线性形式)是半双线性形式h : V × VC,有着

 

Cn上的标准埃尔米特形式为

 

更一般的说,在任何希尔伯特空间上的内积都是埃尔米特形式。

如果V是有限维的空间,则相对于V的任何{ei},埃尔米特形式可表示为埃尔米特矩阵H

 

H的分量给出为Hij = h(ei, ej)。

关联于埃尔米特形式的二次形式

Q(z) = h(z,z)

总是实数的。实际上可证明半双线性形式是埃尔米特形式,当且仅当关联的二次形式是实数的,对于所有zV

斜-埃尔米特形式

斜-埃尔米特形式(也叫做反对称半双线性形式)是半双线性形式ε : V × VC,有着

 

所有斜埃尔米特形式可以写为i乘以埃尔米特形式。

如果V是有限维空间,则相对于任何V{ei},斜埃尔米特形式可表示为斜埃尔米特矩阵A

 

关联于斜埃尔米特形式的二次形式

Q(z) = ε(z,z)

总是纯虚数