墨西哥帽小波


数学数值分析里, Ricker 小波[1]

Mexican hat


是对高斯函数的二阶导数进行取反并归一化的结果,也就是能够缩放正规化的第二埃尔米特函数。在连续小波的家族当中,埃尔米特小波是个非常特别的存在(应用在连续小波转换称作埃尔米特转换)。Ricker子波经常被采用来模拟地震数据,并作为在计算电动力学的广谱源项。它通常只在美国才会被称作墨西哥帽小波,因为在作为核函数处理2维图像时,形成了墨西哥宽边帽的形状。 由于神经科学家David Marr[2][3] 的缘故,该函数也被广泛称为 Marr wavelet

2D Mexican hat wavelet


而多维一般化的墨西哥帽小波称为高斯函数的拉普拉斯。实际上,这种小波有时会用高斯函数的差来逼近,因为它可以被分离[4],也因此在二维或者更多维的情况下,能够节省大量的计算时间。规模标准化拉普拉斯 ( -norm) 经常被用来作为一个blob检测和计算机视觉应用中的自动规模选择。墨西哥帽小波也可以用Cardinal B-Slines 的微分来逼近。[5]

墨西哥帽函数的消失动量

消失动量(vanish moment)的定义:

小波转换中,母小波 尽量选越高频(意即vanish moment大的)越好.此处先介绍消失动量(vanish moment)的定义

k阶动量(k-th moment):

 

 ,则我们称母小波 的消失动量(vanish moment)为p

消失动量(vanish moment)越高,经内积后被滤掉的低频成分越多.

墨西哥帽函数的消失动量(vanish moment):

墨西哥帽函数的数学表示式:

 

仔细观察,  其实是高斯函数的二次微分:

  常数。

而高斯函数做傅立叶转换仍是高斯函数

 

利用 

可以算出 

所以墨西哥帽函数的消失动量为2。

高斯函数p次微分的消失动量(vanish moment):

高斯函数的p次微分的数学表示式:

 

其傅立叶转换为 

利用 

可以算出 

所以高斯函数p次微分的消失动量为p。

同时也可以印证,墨西哥帽函数是高斯函数的二次微分,消失动量为2

参考文献

  1. ^ 存档副本 (PDF). [2014-12-27]. (原始内容 (PDF)存档于2014-12-27). 
  2. ^ 存档副本 (PDF). [2015-01-22]. (原始内容存档 (PDF)于2019-11-09). 
  3. ^ 存档副本. [2015-01-22]. (原始内容存档于2017-07-20). 
  4. ^ Fisher, Perkins, Walker and Wolfart. Spatial Filters - Gaussian Smoothing. [23 February 2014]. (原始内容存档于2021-02-13). 
  5. ^ Brinks R: On the convergence of derivatives of B-splines to derivatives of the Gaussian function, Comp. Appl. Math., 27, 1, 2008