定义
向量丛联络的和乐
设 M 为光滑流形 ,E 为其上的 k 维向量丛 ,∇ 为 E 上的联络 。给定 M 上一点 x 和以 x 为基点的分段 光滑环圈 γ : [0,1] → M , 该联络定义了一个平行移动 映射 P γ : Ex → Ex . 该映射是可逆线性映射,因此是一般线性群 GL(Ex ) 的元素。∇ 以 x 为基点的和乐群 定义为
Hol
x
(
∇
)
=
{
P
γ
∈
G
L
(
E
x
)
∣
γ
为 以
x
为 基 点 的 环 圈
}
.
{\displaystyle \operatorname {Hol} _{x}(\nabla )=\{P_{\gamma }\in \mathrm {GL} (E_{x})\mid \gamma {\text{ 为 以}}\ \ x{\text{ 为 基 点 的 环 圈 }}\}.}
以 x 为基点的限制和乐群 是由可缩 环圈 γ 给出的子群
Hol
x
0
(
∇
)
{\displaystyle \operatorname {Hol} _{x}^{0}(\nabla )}
.
若 M 连通 ,则不同基点 x 的和乐群 仅相差 GL(k , R ) 的共轭作用 。更具体说,若 γ 为 M 中由 x 到 y 的路径,则
Hol
y
(
∇
)
=
P
γ
Hol
x
(
∇
)
P
γ
−
1
.
{\displaystyle \operatorname {Hol} _{y}(\nabla )=P_{\gamma }\operatorname {Hol} _{x}(\nabla )P_{\gamma }^{-1}.}
选取 Ex 的另一组基(即以另一种方式将 Ex 视为与 R k 等同)同样会使和乐群变成 GL(k , R ) 中另一个共轭子群。非完全严格的讨论中(下同),可将基点略去,但倘如此行,则和乐群仅在共轭意义下有良好定义。
和乐群的重要性质包括:
Hol
0
(
∇
)
{\displaystyle \operatorname {Hol} ^{0}(\nabla )}
是 GL(k , R ) 的连通李子群 。
Hol
0
(
∇
)
{\displaystyle \operatorname {Hol} ^{0}(\nabla )}
是
Hol
(
∇
)
{\displaystyle \operatorname {Hol} (\nabla )}
的单位连通支 。
存在自然的满 群同态
π
1
(
M
)
→
Hol
(
∇
)
/
Hol
0
(
∇
)
,
{\displaystyle \pi _{1}(M)\to \operatorname {Hol} (\nabla )/\operatorname {Hol} ^{0}(\nabla ),}
其中
π
1
(
M
)
{\displaystyle \pi _{1}(M)}
是 M 的基本群。该同态将同伦类
[
γ
]
{\displaystyle [\gamma ]}
映到陪集
P
γ
⋅
Hol
0
(
∇
)
.
{\displaystyle P_{\gamma }\cdot \operatorname {Hol} ^{0}(\nabla ).}
若 M 单连通 ,则
Hol
(
∇
)
=
Hol
0
(
∇
)
.
{\displaystyle \operatorname {Hol} (\nabla )=\operatorname {Hol} ^{0}(\nabla ).}
∇ 为平(即曲率恒零)当且仅当
Hol
0
(
∇
)
{\displaystyle \operatorname {Hol} ^{0}(\nabla )}
为平凡群。
在物理学中,威尔森循环 是 tr(P )(特征标理论 的迹 )。
主丛联络的和乐
主丛联络的和乐与向量丛相仿。设 G 为李群 ,P 为仿紧 光滑流形 M 上的主 G 丛 。设 ω 为 P 上的联络 。给定 M 中一点 x , 以 x 为基点的分段光滑环圈 γ : [0,1] → M , 以及 x 纤维上一点 p , 该联络定义了唯一的水平提升
γ
~
:
[
0
,
1
]
→
P
{\displaystyle {\tilde {\gamma }}:[0,1]\to P}
使得
γ
~
(
0
)
=
p
.
{\displaystyle {\tilde {\gamma }}(0)=p.}
水平提升的终点
γ
~
(
1
)
{\displaystyle {\tilde {\gamma }}(1)}
未必是 p , 因为其可为 x 纤维上的另一点 p ·g . 若两点 p 和 q 之间有分段光滑的水平提升路径连接,则称 p ~ q . 如此,~ 是 P 上的等价关系 。
ω 以 p 为基点的和乐群 定义为
Hol
p
(
ω
)
=
{
g
∈
G
∣
p
∼
p
⋅
g
}
.
{\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega )=\{g\in G\mid p\sim p\cdot g\}.}
若在定义中仅允许可缩 环圈 γ 的水平提升,则得到以 p 为基点的受限和乐群
Hol
p
0
(
ω
)
{\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )}
. 其为和乐群
Hol
p
(
ω
)
{\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega )}
的子群。
若 M 和 P 皆连通 ,则不同基点 p 的和乐群仅在 G 互为共轭。更具体说,若 q 是另一个基点,则有唯一的 g ∈ G 使得 q ~ p ·g . 于是,
Hol
q
(
ω
)
=
g
−
1
Hol
p
(
ω
)
g
.
{\displaystyle \operatorname {Hol} _{q}(\omega )=g^{-1}\operatorname {Hol} _{p}(\omega )g.}
特别地,
Hol
p
⋅
g
(
ω
)
=
g
−
1
Hol
p
(
ω
)
g
,
{\displaystyle \operatorname {Hol} _{p\cdot g}(\omega )=g^{-1}\operatorname {Hol} _{p}(\omega )g,}
再者,若 p ~ q , 则
Hol
p
(
ω
)
=
Hol
q
(
ω
)
.
{\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega )=\operatorname {Hol} _{q}(\omega ).}
因此,有时可省略基点不写,但须留意这会使得和乐群仅在共轭意义下有良好定义。
和乐群的若干性质包括:
Hol
p
0
(
ω
)
{\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )}
是 G 的连通李子群 。
Hol
p
0
(
ω
)
{\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )}
是
Hol
p
(
ω
)
{\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega )}
的单位连通支 。
存在自然的满 群同态
π
1
(
M
)
→
Hol
p
(
ω
)
/
Hol
p
0
(
ω
)
.
{\displaystyle \pi _{1}(M)\to \operatorname {Hol} _{p}(\omega )/\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ).}
若 M 单连通 ,则
Hol
p
(
ω
)
=
Hol
p
0
(
ω
)
.
{\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega )=\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ).}
ω 为平(即曲率恒零)当且仅当
Hol
p
0
(
ω
)
{\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )}
为平凡群。
和乐丛
同上,设 M 为连通仿紧流形,P 为其上的主 G 丛,ω 为 P 上的联络。设 p ∈ P 为主丛上的任意一点。以 H (p ) 表示 P 中可与 p 用水平曲线相连的点的集合。则可证明 H (p ) 连同其到 M 的投影也构成 M 上的主丛,且具有结构群
Hol
p
(
ω
)
{\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega )}
(即 H (p ) 是主
Hol
p
(
ω
)
{\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega )}
丛)。 此主丛称为该联络 ω 经过 p 的和乐丛 。ω 限制到 H (p ) 上也是一个联络,因为其平行移动映射保持 H (p ) 不变。故 H (p ) 是该联络的约化主丛 。此外,H (p ) 任何真子丛都不被平行移动保持,所以其在该类约化主丛之中为最小。[ 3]
与和乐群类似,和乐丛在环绕它的主丛 P 中等变 。具体说,若 q ∈ P 是另一个基点,则有 g ∈ G 使得 q ~ p g (按假设,M 是路连通的)。故 H (q ) = H (p ) g . 于是,两者在和乐丛上导出的联络是相容的,即:两个联络的平行移动映射恰好相差了群元素 g .
单延拓群
和乐丛 H (p ) 是主
Hol
p
(
ω
)
{\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega )}
丛,因此受限和乐群
Hol
p
0
(
ω
)
{\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )}
(作为全个和乐群的正规子群)也作用在 H (p ) 上。离散群
Hol
p
(
ω
)
/
Hol
p
0
(
ω
)
{\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega )/\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )}
称为联络的单延拓 群 。其作用在商丛
H
(
p
)
/
Hol
p
0
(
ω
)
{\displaystyle H(p)/\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )}
上。存在满同态
φ
:
π
1
→
Hol
p
(
ω
)
/
Hol
p
0
(
ω
)
,
{\displaystyle \varphi :\pi _{1}\to \operatorname {Hol} _{p}(\omega )/\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ),}
使得
φ
(
π
1
(
M
)
)
{\displaystyle \varphi (\pi _{1}(M))}
作用在
H
(
p
)
/
Hol
p
0
(
ω
)
{\displaystyle H(p)/\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )}
上。基本群的这个群作用称为基本群的单延拓表示 。[ 4]
局域及无穷小和乐
若 π: P → M 为主丛,ω 为 P 的联络,则 ω 的和乐可限制到 M 的开集的纤维上。若 U 为 M 的连通开集,则将 ω 限制到 U 上可得丛 π−1 U 的联络。该丛的和乐群记为
Hol
p
(
ω
,
U
)
,
{\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega ,U),}
而受限和乐群则记为
Hol
p
0
(
ω
,
U
)
,
{\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ,U),}
其中 p 为满足 π(p ) ∈ U 的点。
若 U ⊂ V 为包含 π(p ) 的两个开集,则有包含关系
Hol
p
0
(
ω
,
U
)
⊂
Hol
p
0
(
ω
,
V
)
.
{\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ,U)\subset \operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ,V).}
p 点的局域和乐群 定义为
Hol
p
∗
(
ω
)
=
⋂
k
=
1
∞
Hol
p
0
(
ω
,
U
k
)
,
{\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}^{*}(\omega )=\bigcap _{k=1}^{\infty }\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ,U_{k}),}
其中 U k 为任意一族满足
⋂
k
U
k
=
π
(
p
)
{\displaystyle \bigcap _{k}U_{k}=\pi (p)}
的递降(即
U
k
⊂
U
k
+
1
∀
k
{\displaystyle U_{k}\subset U_{k+1}\ \forall k}
)连通开集。
局域和乐群有以下性质:
其为受限和乐群
Hol
p
0
(
ω
)
{\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )}
的连通李子群。
每点 p 都有邻域 V 使得
Hol
p
∗
(
ω
)
=
Hol
p
0
(
ω
,
V
)
.
{\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}^{*}(\omega )=\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ,V).}
局域和乐群仅取决于 p , 而非序列 U k 的选取。
局域和乐群在结构群 G 的作用下等变,即对任意 g ∈ G ,
Hol
p
g
∗
(
ω
)
=
Ad
(
g
−
1
)
Hol
p
∗
(
ω
)
.
{\displaystyle \operatorname {Hol} _{pg}^{*}(\omega )=\operatorname {Ad} (g^{-1})\operatorname {Hol} _{p}^{*}(\omega ).}
(注意由性质 1, 局域和乐群是 G 的连通李子群,故伴随 Ad 有定义。
局域和乐群不一定有全域的良好性质,例如流形的不同点上的局域和乐群不一定具有相同的维数。然而,有以下的定理:
若局域和乐群的维数恒定,则局域和乐群与受限和乐群相等,即
Hol
p
∗
(
ω
)
=
Hol
p
0
(
ω
)
.
{\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}^{*}(\omega )=\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ).}
词源
英文Holonomy 与“全纯 ”(Holomorphic )相似,"Holomorphic"一词由柯西 的两个学生夏尔·布里奥 (1817–1882)和让-克劳迪·波桂 (1819–1895)引入,来自希腊文ὅλος (holos )和μορφή (morphē ),意思分别是“全”、“形态”。[ 5]
"Holonomy "与"holomorphic "的前半(holos )一样。至于后半:
非常难在网络上找出holonomic (或holonomy )的词源。我找到(鸣谢普林斯顿 的约翰·康威 ):
我相信潘索(Louis Poinsot )最早在他对刚体运动的分析用到它。这个理论中,若某种意义下,能够从一个系统的局域资讯得悉其全局资讯,就叫一个和乐的 ("holonomic ")系统,所以它的意思“整体法则”("entire-law ")很贴切。球在桌上滚动并不和乐,因为沿不同的路径滚到同一点,可以使球的方向不同。然而,将“和乐”理解成“整体法则”恐怕有点过于简化。希腊文的"nom"词根有多层互相交织的意思,可能更多时解“数算”(counting )。它与我们的词数字"number "来自同一个印欧词根 。
——S. Golwala[ 6]
参见νόμος (nomos )和-nomy 。
安布罗斯-辛格定理
安布罗斯-辛格定理 (得名自Warren Ambrose and Isadore M. Singer (1953 ) )描述主丛联络 的和乐与该联络的曲率形式 之间的关系。为理解此定理,先考虑较熟知的情况,如仿射联络 、切丛联络(或其特例列维-奇维塔联络 )。沿无穷小平行四边形的边界走一圈,就会感受到曲率。
引入更多细节,若
σ
:
[
0
,
1
]
×
[
0
,
1
]
→
M
{\displaystyle \sigma :[0,1]\times [0,1]\to M}
是
M
{\displaystyle M}
中某曲面的坐标表示,则向量
V
{\displaystyle V}
可以沿
σ
{\displaystyle \sigma }
的边界平行移动,由原点出发,先沿
(
x
,
0
)
{\displaystyle (x,0)}
,再沿
(
1
,
y
)
{\displaystyle (1,y)}
,再
(
x
,
1
)
{\displaystyle (x,1)}
(
x
{\displaystyle x}
反方向,即由
1
{\displaystyle 1}
递减至
0
{\displaystyle 0}
),最后
(
0
,
y
)
{\displaystyle (0,y)}
,回到原点。此为和乐环圈的特例,因为向量
V
{\displaystyle V}
沿该圈平行移动的结果,相当于
σ
{\displaystyle \sigma }
边界的提升,对应的和乐群元素,作用在
V
{\displaystyle V}
上。当平行四边形缩至无穷小时(即沿更小的平行四边形圈,对应
σ
{\displaystyle \sigma }
坐标中的区域
[
0
,
x
]
×
[
0
,
y
]
{\displaystyle [0,x]\times [0,y]}
,而
x
,
y
{\displaystyle x,y}
趋向于
0
{\displaystyle 0}
),就会明确得到曲率。换言之,取平行移动映射于
x
=
y
=
0
{\displaystyle x=y=0}
处的导数:
D
d
x
D
d
y
V
−
D
d
y
D
d
x
V
=
R
(
∂
σ
∂
x
,
∂
σ
∂
y
)
V
{\displaystyle {\frac {D}{dx}}{\frac {D}{dy}}V-{\frac {D}{dy}}{\frac {D}{dx}}V=R\left({\frac {\partial \sigma }{\partial x}},{\frac {\partial \sigma }{\partial y}}\right)V}
其中
R
{\displaystyle R}
为曲率张量 。[ 7] 所以,粗略而言,曲率给出闭环圈(无穷小平行四边形)上的无穷小和乐。更严格地,曲率是和乐作用于和乐群单位元处的导数。换言之,
R
(
X
,
Y
)
{\displaystyle R(X,Y)}
是
Hol
p
(
ω
)
{\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega )}
的李代数 的元素。
一般来说,考虑结构群为
G
{\displaystyle G}
的主丛
P
→
M
{\displaystyle P\to M}
某联络的和乐。以
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
表示
G
{\displaystyle G}
的李代数,则联络的曲率形式 是
P
{\displaystyle P}
上的
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
值2-形式
Ω
{\displaystyle \Omega }
。安布罗斯-辛格定理断言:[ 8]
Hol
p
(
ω
)
{\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega )}
的李代数,是由
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
中所有形如
Ω
q
(
X
,
Y
)
{\displaystyle \Omega _{q}(X,Y)}
的元素线性张成,其中
q
{\displaystyle q}
取遍所有可以用水平曲线
(
q
∼
p
)
{\displaystyle (q\sim p)}
与
p
{\displaystyle p}
连接的点,而
X
,
Y
{\displaystyle X,Y}
皆是
q
{\displaystyle q}
处的水平切向量。
亦可用和乐丛的说法,复述如下:[ 9]
Hol
p
(
ω
)
{\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega )}
的李代数,是
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
中形如
Ω
q
(
X
,
Y
)
{\displaystyle \Omega _{q}(X,Y)}
的元素张成的线性子空间,其中
q
{\displaystyle q}
取遍
H
(
p
)
{\displaystyle H(p)}
的元素,而
X
,
Y
{\displaystyle X,Y}
取遍
q
{\displaystyle q}
处的水平向量。
黎曼和乐
可约和乐与德拉姆分解
设
x
∈
M
{\displaystyle x\in M}
为任意一点,则和乐群
H
o
l
(
M
)
{\displaystyle \mathrm {Hol} (M)}
作用在切空间
T
x
M
{\displaystyle T_{x}M}
上。视之为群的表示 ,则可能不可约 ,亦可能可约,即可以将
T
x
M
{\displaystyle T_{x}M}
分解成正交子空间的直和
T
x
M
=
T
x
′
M
⊕
T
x
″
M
,
{\displaystyle T_{x}M=T'_{x}M\oplus T''_{x}M,}
而两个子空间皆在
H
o
l
(
M
)
{\displaystyle \mathrm {Hol} (M)}
作用下不变。此时亦称
M
{\displaystyle M}
可约 。
设
M
{\displaystyle M}
为可约流形。上式说明,在每一点
x
{\displaystyle x}
处,切空间可以约化分解成
T
x
′
M
{\displaystyle T'_{x}M}
和
T
x
″
M
{\displaystyle T''_{x}M}
,所以当
x
{\displaystyle x}
变动时,就定义出向量丛
T
′
M
{\displaystyle T'M}
和
T
″
M
{\displaystyle T''M}
,两者皆光滑分布,且是弗比尼斯可积 。两个分布的积分流形 皆为完全测地 子流形,换言之,子流形的测地线皆为原流形的测地线。所以局部观察
M
{\displaystyle M}
,是笛卡尔积
M
′
×
M
″
{\displaystyle M'\times M''}
。重复上述分解,直到切空间完全约化,则得到(局部)德拉姆同构:[ 10]
设
M
{\displaystyle M}
为单连通 黎曼流形,[ 11] 又设在和乐群的作用下,
T
M
=
T
(
0
)
M
⊕
T
(
1
)
M
⊕
⋯
⊕
T
(
k
)
M
{\displaystyle TM=T^{(0)}M\oplus T^{(1)}M\oplus \cdots \oplus T^{(k)}M}
为切丛的完全约化分解,而和乐群在
T
(
0
)
M
{\displaystyle T^{(0)}M}
上的作用平凡(恒等映射),则
M
{\displaystyle M}
局部等距同构 于乘积
V
0
×
V
1
×
⋯
×
V
k
,
{\displaystyle V_{0}\times V_{1}\times \cdots \times V_{k},}
其中
V
0
{\displaystyle V_{0}}
是欧氏 开集,而每个
V
i
{\displaystyle V_{i}}
是
T
(
i
)
M
{\displaystyle T^{(i)}M}
的积分流形。更甚者,
H
o
l
(
M
)
{\displaystyle \mathrm {Hol} (M)}
是
H
o
l
(
M
i
)
{\displaystyle \mathrm {Hol} (M_{i})}
的直积(
M
i
{\displaystyle M_{i}}
是
T
(
i
)
{\displaystyle T^{(i)}}
过某点的极大积分流形)。
若同时假设
M
{\displaystyle M}
测地完备 (每点每个方向的测地线皆可无限延伸),则定理不仅局部成立,而是全域成立,且各
M
i
{\displaystyle M_{i}}
本身也是测地完备流形。[ 12]
伯格分类
1955年,马塞尔·伯格 将不可约(并非局部 等同积空间)、非对称(并非局部地黎曼对称 )、单连通的黎曼流形,可能具有的和乐群,完全分类。伯格分类 表如下:
H
o
l
(
g
)
{\displaystyle \mathrm {Hol} (g)}
d
i
m
(
M
)
{\displaystyle \mathrm {dim} (M)}
流形类型
备注
正交群
S
O
(
n
)
{\displaystyle SO(n)}
n
{\displaystyle n}
可定向流形
—
酉群
U
(
n
)
{\displaystyle U(n)}
2
n
{\displaystyle 2n}
凯勒流形
凯勒
特殊酉群
S
U
(
n
)
{\displaystyle SU(n)}
2
n
{\displaystyle 2n}
卡拉比–丘流形
里奇平 、凯勒
辛群
S
p
(
n
)
{\displaystyle \mathrm {Sp} (n)}
4
n
{\displaystyle 4n}
超凯勒流形
里奇平 、凯勒
S
p
(
n
)
⋅
S
p
(
1
)
{\displaystyle \mathrm {Sp} (n)\cdot \mathrm {Sp} (1)}
4
n
{\displaystyle 4n}
四元数凯勒流形
爱因斯坦
例外单李群
G
2
{\displaystyle G_{2}}
7
{\displaystyle 7}
G2流形
里奇平
旋量群
S
p
i
n
(
7
)
{\displaystyle \mathrm {Spin} (7)}
8
{\displaystyle 8}
Spin(7)流形
里奇平
1965年,爱德蒙·博南 及Vivian Yoh Kraines 同时研究和乐群为
S
p
(
n
)
⋅
S
p
(
1
)
{\displaystyle \mathrm {Sp} (n)\cdot \mathrm {Sp} (1)}
的流形,构造出其平行4形式。
爱德蒙·博南 于1966年最早引入和乐群为
G
2
{\displaystyle G_{2}}
或
S
p
i
n
(
7
)
{\displaystyle \mathrm {Spin} (7)}
的流形,他构造出全部平行形式,并证明该些流形皆为里奇平。
伯格原先的表中,未排除
S
p
i
n
(
9
)
{\displaystyle \mathrm {Spin} (9)}
(作为
S
O
(
16
)
{\displaystyle SO(16)}
的子群)。后来,迪米特里·阿列克谢耶夫斯基(Dmitri V. Alekseevsky )一人,与布朗(Brown )、格雷(Gray )二人,分别证明具此和乐群的黎曼流形必然局部对称,即与凯莱平面
F
4
/
S
p
i
n
(
9
)
{\displaystyle F_{4}/\mathrm {Spin} (9)}
局部等距同构,或局部平坦,故上表不列。上表列出的各可能,现已确实知道是某黎曼流形的和乐群。末尾两个例外情况的流形最难发现,见
G
2
{\displaystyle G_{2}}
流形 和
S
p
i
n
(
7
)
{\displaystyle \mathrm {Spin} (7)}
流形 。
注意
S
p
(
n
)
⊂
S
U
(
2
n
)
⊂
U
(
2
n
)
⊂
S
O
(
4
n
)
{\displaystyle \mathrm {Sp} (n)\subset SU(2n)\subset U(2n)\subset SO(4n)}
,故超凯勒流形 必为卡拉比-丘 ,卡拉比-丘流形 必为凯勒 ,而凯勒流形 必可定向 。
以上看似奇怪的列表(伯格定理),可由西蒙斯(Simons)的证明解释。另有一个简单几何证明,由卡洛斯·奥尔莫斯(Carlos E. Olmos )于2005年给出。[ 13] 第一步要证,若黎曼流形并非局部对称空间 ,而约化和乐在切空间上的作用不可约,则递移地作用在单位球面上。但已知有何种李群 递移作用于球面:上表所列各项,以及两个额外情况,分别是
S
p
i
n
(
9
)
{\displaystyle \mathrm {Spin} (9)}
(作用于
R
16
{\displaystyle \mathbb {R} ^{16}}
),以及
U
(
1
)
⋅
S
p
(
m
)
{\displaystyle U(1)\cdot \mathrm {Sp} (m)}
(作用于
R
4
m
{\displaystyle \mathbb {R} ^{4m}}
)。最后,要验证前者只能作为局部对称空间(局部同构于的凯莱射影平面 )的和乐群,而后者则根本不能作为和乐群出现。
伯格的原分类,尚有涵盖非正定的伪黎曼度量 ,其给出非局部对称和乐的可能列表为:
和乐群
度量符号
S
O
(
p
,
q
)
{\displaystyle SO(p,q)}
(
p
,
q
)
{\displaystyle (p,q)}
U
(
p
,
q
)
{\displaystyle U(p,q)}
(
2
p
,
2
q
)
{\displaystyle (2p,2q)}
S
U
(
p
,
q
)
{\displaystyle SU(p,q)}
(
2
p
,
2
q
)
{\displaystyle (2p,2q)}
S
p
(
p
,
q
)
{\displaystyle \mathrm {Sp} (p,q)}
(
4
p
,
4
q
)
{\displaystyle (4p,4q)}
S
p
(
p
,
q
)
⋅
S
p
(
1
)
{\displaystyle \mathrm {Sp} (p,q)\cdot \mathrm {Sp} (1)}
(
4
p
,
4
q
)
{\displaystyle (4p,4q)}
S
O
(
n
,
C
)
{\displaystyle SO(n,\mathbb {C} )}
(
n
,
n
)
{\displaystyle (n,n)}
S
O
(
n
,
H
)
{\displaystyle SO(n,\mathbb {H} )}
(
2
n
,
2
n
)
{\displaystyle (2n,2n)}
分裂
G
2
{\displaystyle G_{2}}
(
4
,
3
)
{\displaystyle (4,3)}
G
2
(
C
)
{\displaystyle G_{2}(\mathbb {C} )}
(
7
,
7
)
{\displaystyle (7,7)}
S
p
i
n
(
4
,
3
)
{\displaystyle \mathrm {Spin} (4,3)}
(
4
,
4
)
{\displaystyle (4,4)}
S
p
i
n
(
7
,
C
)
{\displaystyle \mathrm {Spin} (7,\mathbb {C} )}
(
7
,
7
)
{\displaystyle (7,7)}
(
∗
)
S
p
i
n
(
5
,
4
)
{\displaystyle (*)\ \mathrm {Spin} (5,4)}
(
8
,
8
)
{\displaystyle (8,8)}
(
∗
)
S
p
i
n
(
9
,
C
)
{\displaystyle (*)\ \mathrm {Spin} (9,\mathbb {C} )}
(
16
,
16
)
{\displaystyle (16,16)}
但是,标
(
∗
)
{\displaystyle (*)}
的两种和乐群(分裂
S
p
i
n
(
9
)
{\displaystyle \mathrm {Spin} (9)}
及复化
S
p
i
n
(
9
)
{\displaystyle \mathrm {Spin} (9)}
),如同正定的情况,只能在局部对称空间出现,故应予删去。至于复化和乐群
S
O
(
n
,
C
)
,
G
2
(
C
)
,
S
p
i
n
(
7
,
C
)
{\displaystyle SO(n,\mathbb {C} ),G_{2}(\mathbb {C} ),\mathrm {Spin} (7,\mathbb {C} )}
三种,可以将实解析黎曼流形复化得到。而和乐群为
S
O
(
n
,
H
)
{\displaystyle SO(n,\mathbb {H} )}
子群的流形,R. McLean证明其为局部平。[ 14]
对称黎曼空间,因为局部与齐性空间
G
/
H
{\displaystyle G/H}
同构,其局部和乐群同构于
H
{\displaystyle H}
,经已分类完毕 。
最后,伯格的论文亦有列举仅得无挠仿射联络 的流形的可能和乐群,见下节 。
特殊和乐及旋量
一些流形具特殊的和乐,该性质亦可藉平行旋量 是否存在来刻划(平行旋量即协变导数 为零的旋量场),[ 15] 尤其有以下各项命题成立:
H
o
l
(
ω
)
⊆
U
(
n
)
{\displaystyle \mathrm {Hol} (\omega )\subseteq U(n)}
,当且仅当
M
{\displaystyle M}
上存在平行的射影纯旋量场。
若
M
{\displaystyle M}
为旋量流形 ,则
H
o
l
(
ω
)
⊆
S
U
(
n
)
{\displaystyle \mathrm {Hol} (\omega )\subseteq SU(n)}
,当且仅当
M
{\displaystyle M}
具有至少两个线性独立的平行纯旋量场。事实上,平行纯旋量场足以确定由结构群 到
S
U
(
n
)
{\displaystyle SU(n)}
的典范归约。
若
M
{\displaystyle M}
是七维旋量流形,则
M
{\displaystyle M}
具有非平凡平行旋量场,当且仅当和乐群是
G
2
{\displaystyle G_{2}}
的子群。
若
M
{\displaystyle M}
为八维旋量流形,则
M
{\displaystyle M}
具有非平凡平行旋量场,当且仅当和乐群是
S
p
i
n
(
7
)
{\displaystyle \mathrm {Spin} (7)}
的子群。
幺正与特殊幺正和乐经常连带扭量理论 [ 16] 、殆复流形 [ 15] 一同研究。
应用
弦论
具特殊和乐的黎曼流形,对弦论 紧化 很重要。[ 17] 原因是,特殊和乐流形上,存在共变 常值(即平行)旋量 ,于是保一部分超对称 。较重要的紧化是在具
S
U
(
2
)
{\displaystyle SU(2)}
或
S
U
(
3
)
{\displaystyle SU(3)}
和乐的卡拉比–丘流形 上,以及
G
2
{\displaystyle G_{2}}
流形 上。
机器学习
在机器学习 ,尤其流形学习 方面,曾有人提出,藉计算黎曼流形的和乐,得出数据流形的结构。由于和乐群包含数据流形的全域结构,其适用于判断数据流形可能如何分解成子流形之积。由于取样有限,无法完全准确计算出和乐群,但利用来自谱图论 的思想(类似向量扩散映射 ),有可能构造出数值近似。所得的算法“几何流形分量估计量”(英语:Geometric Manifold Component Estimator ,简写GeoManCEr “探地者 ”),能给出德拉姆分解的数值近似,并应用于现实数据。[ 18]
仿射和乐
仿射和乐群 (英语:affine holonomy groups ),是无挠仿射联络 的和乐群;其中一些不能作为(伪)黎曼和乐群出现,称为非度量和乐群 (英语:non-metric holonomy groups )。德拉姆分解定理不适用于仿射和乐群,所以离完成分类尚有很远,但仍可以将不可约的仿射和乐分类。
伯格在证明黎曼和乐分类定理的过程中,发现对于非局部对称 的无挠仿射联络而言,和乐群的李代数必定符合两个条件。伯格第一准则(英语:Berger's first criterion )是安布罗斯-辛格定理(即曲率张量生成和乐的李代数,见前节 )的后果;而第二准则,来自联络非局部对称的条件。伯格列举了满足此两个准则,且作用不可约的群,可以视之为不可约仿射和乐群的可能情况表。
但伯格的列表,其后证实并未齐全。罗伯特·布莱恩特 (1991)和Q. Chi、S. Merkulov、L. Schwachhöfer(1996)找到未在列表的例子,有时称为“怪和乐”(exotic holonomies )。努力搜索例子之后,最终由Merkulov和Schwachhöfer(1999年)完成不可约仿射和乐群的分类,而反方向的结果则由布莱恩特(2000年)证明,即列表上所有群皆确实能作为仿射和乐群。
观察到表中的群和埃尔米特对称空间 、四元数凯勒对称空间 之间有联系之后,Merkulov–Schwachhöfer分类会变得更清晰。此种联系在复仿射和乐的情况尤其明确,见于Schwachhöfer(2001)。
设
V
{\displaystyle V}
为有限维复向量空间,
H
⊆
A
u
t
(
V
)
{\displaystyle H\subseteq \mathrm {Aut} (V)}
为不可约半单复连通李子群,又设
K
⊆
H
{\displaystyle K\subseteq H}
为极大紧子群。
若有不可约埃尔米特对称空间形如
G
/
(
U
(
1
)
⋅
K
)
{\displaystyle G/(U(1)\cdot K)}
,则
H
{\displaystyle H}
和
C
∗
⋅
H
{\displaystyle \mathbb {C} ^{*}\cdot H}
两者皆为非对称不可约仿射和乐群,其中
V
{\displaystyle V}
为
K
{\displaystyle K}
的切表示。
若有不可约四元数凯勒对称空间形如
G
/
(
S
p
(
1
)
⋅
K
)
{\displaystyle G/(\mathrm {Sp} (1)\cdot K)}
,则
H
{\displaystyle H}
为非对称不可约仿射和乐群,而当
dim
V
=
4
{\displaystyle \dim V=4}
时,
C
∗
⋅
H
{\displaystyle \mathbb {C} ^{*}\cdot H}
亦然。此时,
S
p
(
1
)
⋅
K
{\displaystyle \mathrm {Sp} (1)\cdot K}
的复化切表示是
C
2
⊗
V
{\displaystyle \mathbb {C} ^{2}\otimes V}
,而
H
{\displaystyle H}
保
V
{\displaystyle V}
上某个复辛形式 。
上述两族已涵盖大部分非对称不可约复仿射和乐群,例外仅有:
S
p
(
2
,
C
)
⋅
S
p
(
2
n
,
C
)
⊂
A
u
t
(
C
2
⊗
C
2
n
)
,
G
2
(
C
)
⊂
A
u
t
(
C
7
)
,
S
p
i
n
(
7
,
C
)
⊂
A
u
t
(
C
8
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Sp} (2,\mathbb {C} )\cdot \mathrm {Sp} (2n,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{2}\otimes \mathbb {C} ^{2n}\right),\\G_{2}(\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{7}\right),\\\mathrm {Spin} (7,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{8}\right).\end{aligned}}}
利用埃尔米特对称空间的分类,第一族的复仿射和乐群有:
Z
C
⋅
S
L
(
m
,
C
)
⋅
S
L
(
n
,
C
)
⊂
A
u
t
(
C
m
⊗
C
n
)
,
Z
C
⋅
S
L
(
n
,
C
)
⊂
A
u
t
(
∧
2
C
n
)
,
Z
C
⋅
S
L
(
n
,
C
)
⊂
A
u
t
(
S
2
C
n
)
,
Z
C
⋅
S
O
(
n
,
C
)
⊂
A
u
t
(
C
n
)
,
Z
C
⋅
S
p
i
n
(
10
,
C
)
⊂
A
u
t
(
Δ
10
+
)
≅
A
u
t
(
C
16
)
,
Z
C
⋅
E
6
(
C
)
⊂
A
u
t
(
C
27
)
,
{\displaystyle {\begin{aligned}Z_{\mathbb {C} }\cdot SL(m,\mathbf {C} )\cdot SL(n,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{m}\otimes \mathbb {C} ^{n}\right),\\Z_{\mathbb {C} }\cdot SL(n,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\wedge ^{2}\mathbb {C} ^{n}\right),\\Z_{\mathbb {C} }\cdot SL(n,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(S^{2}\mathbb {C} ^{n}\right),\\Z_{\mathbb {C} }\cdot SO(n,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{n}\right),\\Z_{\mathbb {C} }\cdot \mathrm {Spin} (10,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\Delta _{10}^{+}\right)\cong \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{16}\right),\\Z_{\mathbb {C} }\cdot E_{6}(\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{27}\right),\end{aligned}}}
其中
Z
C
{\displaystyle Z_{\mathbb {C} }}
可取平凡群,亦可取为
C
∗
{\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}
。
同样,用四元数凯勒对称空间的分类,第二族复辛和乐群有:
S
p
(
2
,
C
)
⋅
S
O
(
n
,
C
)
⊂
A
u
t
(
C
2
⊗
C
n
)
,
(
Z
C
⋅
)
S
p
(
2
n
,
C
)
⊂
A
u
t
(
C
2
n
)
,
Z
C
⋅
S
L
(
2
,
C
)
⊂
A
u
t
(
S
3
C
2
)
,
S
p
(
6
,
C
)
⊂
A
u
t
(
∧
0
3
C
6
)
≅
A
u
t
(
C
14
)
,
S
L
(
6
,
C
)
⊂
A
u
t
(
∧
3
C
6
)
,
S
p
i
n
(
12
,
C
)
⊂
A
u
t
(
Δ
12
+
)
≅
A
u
t
(
C
32
)
,
E
7
(
C
)
⊂
A
u
t
(
C
56
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Sp} (2,\mathbb {C} )\cdot SO(n,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{2}\otimes \mathbb {C} ^{n}\right),\\(Z_{\mathbb {C} }\,\cdot )\,\mathrm {Sp} (2n,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{2n}\right),\\Z_{\mathbb {C} }\cdot SL(2,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(S^{3}\mathbb {C} ^{2}\right),\\\mathrm {Sp} (6,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\wedge _{0}^{3}\mathbb {C} ^{6}\right)\cong \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{14}\right),\\SL(6,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\wedge ^{3}\mathbb {C} ^{6}\right),\\\mathrm {Spin} (12,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\Delta _{12}^{+}\right)\cong \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{32}\right),\\E_{7}(\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{56}\right).\\\end{aligned}}}
(第二行中,
Z
C
{\displaystyle Z_{\mathbb {C} }}
必须取为平凡群,除非
n
=
2
{\displaystyle n=2}
,此时可取为
C
∗
{\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}
。)
从以上各列表,可以观察出一个结论,类似西蒙斯断言黎曼和乐群递移作用于球面:复和乐表示皆为预齐性向量空间 。但是,未知此事实的概念性证明。
不可约实仿射和乐的分类,用“实仿射和乐复化成复仿射和乐”此结论,结合上表,仔细分析便得。
参见
脚注
^ holonomy . 乐词网. 国家教育研究院 . (繁体中文)
^ Wu, Hongxi. On the de Rham decomposition theorem . DSpace@MIT. [2020-02-18 ] . (原始内容存档 于2020-02-18).
^ Kobayashi & Nomizu 1963 ,§II.7
^ Sharpe 1997 ,§3.7
^ Markushevich, A.I. 2005 harvnb error: no target: CITEREFMarkushevich,_A.I.2005 (help )
^ Golwala 2007 ,第65–66页
^ Spivak 1999 ,第241页
^ Sternberg 1964 ,Theorem VII.1.2
^ Kobayashi & Nomizu 1963 ,Volume I, §II.8
^ Kobayashi & Nomizu ,§IV.5 harvnb error: no target: CITEREFKobayashiNomizu (help )
^ 定理亦可推广至非单连通流形,但叙述更复杂。
^ Kobayashi, Nomizu & §IV.6 harvnb error: no target: CITEREFKobayashiNomizu§IV.6 (help )
^ Olmos, Carlos E. A geometric proof of the Berger Holonomy Theorem [伯格和乐定理的几何证明] . Annals of Mathematics. 2005, 161 : 579–588. doi:10.4007/annals.2005.161.579 (英语) .
^ Bryant, Robert L. Classical, exceptional, and exotic holonomies: a status report. Basse, Arthur L. (编). Actes de la table ronde de Géométrie Différentielle en l'honneur de Marcel Berger . Séminaires & Congrès 1 . 1996: 93–165 [2021-10-02 ] . ISBN 2-85629-047-7 . (原始内容 存档于2020-07-31) (英语) .
^ 15.0 15.1 Lawson & Michelsohn 1989 ,§IV.9–10
^ Baum 1991 harvnb error: no target: CITEREFBaum1991 (help )
^ Gubser, S., Gubser S.; et al , 编, Special holonomy in string theory and M-theory
+Gubser, Steven S., Strings, branes and extra dimensions, TASI 2001. Lectures presented at the 2001 TASI school, Boulder, Colorado, USA, 4–29 June 2001., River Edge, NJ: World Scientific: 197–233, 2004, ISBN 978-981-238-788-2 , arXiv:hep-th/0201114 .
^ Pfau, David; Higgins, Irina; Botev, Aleksandar; Racanière, Sébastien, Disentangling by Subspace Diffusion, Advances in Neural Information Processing Systems, 2020, arXiv:2006.12982
参考文献
Agricola, Ilka. The Srni lectures on non-integrable geometries with torsion [Srní讲座:论有挠不可积几何]. Arch. Math. 2006, 42 : 5–84. arXiv:math/0606705 (英语) .
Ambrose, Warren; Singer, Isadore . A theorem on holonomy [关于和乐的定理]. Transactions of the American Mathematical Society. 1953, 75 (3): 428–443. JSTOR 1990721 . doi:10.2307/1990721 (英语) .
Baum, H.; Friedrich, Th.; Grunewald, R.; Kath, I. Twistors and Killing spinors on Riemannian manifolds [黎曼流形上的扭量与基灵旋量]. B.G. Teubner. 1991 (英语) .
Berger, Marcel. Sur les groupes d'holonomie homogènes des variétés a connexion affines et des variétés riemanniennes [论仿射联络流形与黎曼流形的齐性和乐群] . Bull. Soc. Math. France. 1953, 83 : 279–330 [2021-10-12 ] . MR 0079806 . doi:10.24033/bsmf.1464 . (原始内容 存档于2022-06-16) (法语) .
Besse, Arthur L. Einstein manifolds [爱因斯坦流形]. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [数学与相关领域的结果(3)] 10 . Berlin, New York: Springer-Verlag . 1987: xii+510. ISBN 978-3-540-15279-8 (英语) .
Bonan, Edmond. Structure presque quaternale sur une variété différentiable [微分流形上的几乎四元结构]. C. R. Acad. Sci. Paris. 1965, 261 : 5445–5448 (法语) .
Bonan, Edmond. Sur les variétés riemanniennes à groupe d'holonomie G2 ou Spin(7) [论有G2或Spin(7)和乐群的黎曼流形]. C. R. Acad. Sci. Paris. 1966, 320 : 127–129 (法语) .
Borel, Armand; Lichnerowicz, André. Groupes d'holonomie des variétés riemanniennes [黎曼流形的和乐群]. Les Comptes rendus de l'Académie des sciences. 1952, 234 : 1835–1837. MR 0048133 (法语) .
Bryant, Robert L. Metrics with exceptional holonomy [有例外和乐的度量] . Annals of Mathematics. 1987, 126 (3): 525–576. JSTOR 1971360 . doi:10.2307/1971360 (英语) .
Bryant, Robert L. Two exotic holonomies in dimension four, path geometries, and twistor theory [两个四维的特异和乐、路径几何、扭量论]. Amer. Math. Soc. Proc. Symp. Pure Math. Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. 1991, 53 : 33–88. ISBN 9780821814925 . doi:10.1090/pspum/053/1141197 (英语) .
Bryant, Robert L. Recent Advances in the Theory of Holonomy [和乐论的近期进展]. Astérisque. Séminaire Bourbaki 1998–1999. 2000, 266 : 351–374. arXiv:math/9910059 (英语) .
Cartan, Élie . Sur une classe remarquable d'espaces de Riemann [论一类特别的黎曼空间]. Bulletin de la Société Mathématique de France. 1926, 54 : 214–264. ISSN 0037-9484 . MR 1504900 . doi:10.24033/bsmf.1105 (法语) .
Cartan, Élie . Sur une classe remarquable d'espaces de Riemann [论一类特别的黎曼空间]. Bulletin de la Société Mathématique de France. 1927, 55 : 114–134. ISSN 0037-9484 . doi:10.24033/bsmf.1113 (法语) .
Chi, Quo-Shin; Merkulov, Sergey A.; Schwachhöfer, Lorenz J. On the Incompleteness of Berger's List of Holonomy Representations [论伯格和乐表示列表不齐全之事] . Invent. Math. 1996, 126 (2): 391–411. Bibcode:1996InMat.126..391C . arXiv:dg-da/9508014 . doi:10.1007/s002220050104 (英语) .
Golwala, S. Lecture Notes on Classical Mechanics for Physics 106ab [物理106ab的古典力学讲义] (PDF) . 2007 [2020-01-24 ] . (原始内容 (PDF) 存档于2013-10-21) (英语) .
Joyce, D. Compact Manifolds with Special Holonomy [具特别和乐的紧流形]. Oxford University Press. 2000. ISBN 978-0-19-850601-0 (英语) .
Kobayashi, S.; Nomizu, K. Foundations of Differential Geometry, Vol. 1 & 2 [微分几何基础,卷1和2] New. Wiley-Interscience. 19631996. ISBN 978-0-471-15733-5 (英语) .
Kraines, Vivian Yoh. Topology of quaternionic manifolds [四元数流形的拓扑]. Bull. Amer. Math. Soc. 1965,. 71,3, 1 (3): 526–527. doi:10.1090/s0002-9904-1965-11316-7 (英语) .
Lawson, H. B.; Michelsohn, M-L. Spin Geometry [Spin几何]. Princeton University Press. 1989. ISBN 978-0-691-08542-5 (英语) .
Lichnerowicz, André. Global Theory of Connections and Holonomy Groups [联络与和乐群的全局理论] 1st. Leiden: Noordhof. 1976 (英语) .
Markushevich, A.I. Silverman, Richard A. , 编. Theory of functions of a Complex Variable [单复变函数论] 2nd. New York: American Mathematical Society . 2005: 112 [1977] [2020-01-24 ] . ISBN 978-0-8218-3780-1 . (原始内容存档 于2012-11-13) (英语) .
Merkulov, Sergei A.; Schwachhöfer, Lorenz J. Classification of irreducible holonomies of torsion-free affine connections [无挠仿射联络的不可约和乐分类] . Annals of Mathematics . 1999, 150 (1): 77–149. JSTOR 121098 . arXiv:math/9907206 . doi:10.2307/121098 . 及其补遗Addendum. Ann. of Math. 1999, 150 (3): 1177–1179. JSTOR 121067 . arXiv:math/9911266 . doi:10.2307/121067 .
Olmos, C. A geometric proof of the Berger Holonomy Theorem [伯格和乐定理的几何证明] . Annals of Mathematics. 2005, 161 (1): 579–588. doi:10.4007/annals.2005.161.579 (英语) .
Sharpe, Richard W. Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program [微分几何:克莱因爱尔兰根纲领的嘉当推广]. New York: Springer-Verlag. 1997. ISBN 978-0-387-94732-7 . MR 1453120 (英语) .
Schwachhöfer, Lorenz J. Connections with irreducible holonomy representations [具不可约和乐表示的联络]. Advances in Mathematics. 2001, 160 (1): 1–80. doi:10.1006/aima.2000.1973 (英语) .
Simons, James . On the transitivity of holonomy systems [论和乐系的递移性] . Annals of Mathematics . 1962, 76 (2): 213–234. JSTOR 1970273 . MR 0148010 . doi:10.2307/1970273 (英语) .
Spivak, Michael . A comprehensive introduction to differential geometry, Volume II [微分几何综论·卷二]. Houston, Texas: Publish or Perish. 1999. ISBN 978-0-914098-71-3 (英语) .
Sternberg, S. Lectures on differential geometry [微分几何讲义]. New York: Chelsea. 1964. ISBN 978-0-8284-0316-0 (英语) .