林德勒夫空间

Lindelöf 空间是每个覆盖都有可数子覆盖的拓扑空间。注意紧空间的定义为每个开覆盖都有有限子覆盖,因此林德勒夫空间可以视为紧空间的推广。如果一个拓朴空间的所有子空间都是 Lindelöf 空间,那么这个拓朴空间我们称之为可传 Lindelöf 空间 (Hereditarily Lindelöf Space)强 Lindelöf 空间,但后者因为模糊且容易混淆而较少使用。

Lindelöf 空间是以芬兰数学家 Ernst Leonard Lindelöf 的名字命名。

Lindelöf 空间的性质

  • 每个紧空间,或更广义地说,每个 σ-紧空间都是 Lindelöf 的。每个可数空间都是 Lindelöf 的。
  • 一个 Lindelöf 空间是紧的当且仅当它是可数紧的。
  • 每个第二可数空间都是 Lindelöf 的,反之则不然。例如,有许多紧空间并非第二可数的。
  • 一个度量空间是 Lindelöf 的当且仅当它是可分的,并当且仅当它是第二可数的。
  • 每个正则 Lindelöf 空间都是正规仿紧的。
  • 对于一个拓朴空间的可数多个 Lindelöf 子空间,其联集是 Lindelöf 的。
  • Lindelöf 空间的每个闭子空间都是 Lindelöf 的。所以每个 Lindelöf 空间中的 Fσ都是 Lindelöf 的。
  • Lindelöf 空间的任意子空间不一定是 Lindelöf 的。
  • Lindelöf 空间的连续是 Lindelöf 的。
  • Lindelöf 空间与紧空间的积空间是 Lindelöf 的。
  • Lindelöf 空间与 σ-紧空间的积空间是 Lindelöf 的。这是前一个性质的推论。
  • 即使是有限个 Lindelöf 空间的积空间都未必是 Lindelöf 空间,例如,Sorgenfrey直线   是 Lindelöf 的,但 Sorgenfrey平面   并非 Lindelöf 的。
  • Lindelöf 空间中,每个由非空子集组成的局部有限族最多是可数的。

可传 Lindelöf 空间的性质

  • 一个空间是可传 Lindelöf 的当且仅当它的每个开子空间都是 Lindelöf 的。
  • 可传 Lindelöf 空间对于取可数多联集、子空间及连续像有封闭性。
  • 一个正则 Lindelöf 空间是可传 Lindelöf 的当且仅当它是完美正规的。
  • 每个第二可数空间都是可传 Lindelöf 的。
  • 每个可数空间都是可传 Lindelöf 的。
  • 每个苏斯林空间 (Suslin space) 都是可传 Lindelöf 的。
  • 每个可传 Lindelöf 空间的拉东测度 (Radon measure) 都是 moderated。

一般化

以下的定义将紧致与 Lindelöf 一般化。如果一个拓朴空间的每个开覆盖都有一个基数严格小于   的子覆盖,那么我们称这个拓朴空间是  -紧(或  -Lindelöf)的,其中   是任意基数。根据这个定义,紧空间是  -紧的,而 Lindelöf 是  -紧的。

Lindelöf 度数 (Lindelöf degree),或称 Lindelöf 数 (Lindelöf number),以   表示,是使得“拓朴空间   的每个开覆盖,都有不比   大的子覆盖”的最小基数  。 用符号表示即是:如果   那么   是 Lindelöf 的。注意前述所定义的 Lindelöf 度数并未区分紧空间与 Lindelöf 非紧空间。有些作者用“Lindelöf 度数”表达不同的概念:使得“拓朴空间   的每个开覆盖,都有大小严格地小于   的子覆盖”的最小基数  。对于后者(且较少使用)的这种定义而言,Lindelöf 度数是使得“一个拓朴空间   -紧”的最小基数。这样的概念有时候也被称为空间   的紧致性度数 (compactness degree)。

相关条目

参考文献