樊𰋀不等式

注意：本页有Unihan扩展G区汉字：“𰋀”，这些字符可能会错误显示，详见Unicode扩展汉字。

樊畿不等式（英语：Ky Fan inequality）是华裔数学家樊畿发现的一个不等式。这个不等式的意义，在于因其与算几不等式相似，从中可以推广出很多结果。

叙述

樊𰋀不等式，用最简单的形式可以表述为：

如果实数$x_{1},\ldots ,x_{n}\$都符合$0<x_{i}\leq {1 \over 2}$，那么

${\frac {\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{\frac {1}{n}}}{\left[\prod _{i=1}^{n}(1-x_{i})\right]^{\frac {1}{n}}}}\leq {\frac {{1 \over n}\sum _{i=1}^{n}x_{i}}{{1 \over n}\sum _{i=1}^{n}(1-x_{i})}}$，

等式成立当且仅当$x_{1}=\cdots =x_{n}$。

若分别记$x_{i}\;$的算术平均和几何平均为$A_{n}\equiv {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}$，$G_{n}\equiv \left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{\frac {1}{n}}$；又记$1-x_{i}\;$的这两种平均为$A_{n}^{\prime }\equiv {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(1-x_{i})$，$G_{n}^{\prime }\equiv \left[\prod _{i=1}^{n}(1-x_{i})\right]^{\frac {1}{n}}$，那么不等式可写作

${\frac {G_{n}}{G_{n}^{\prime }}}\leq {\frac {A_{n}}{A_{n}^{\prime }}}$。

如此可以看出它和算几不等式$G_{n}\leq A_{n}$的相似处。

证明

利用函数$f(x)=\ln x-\ln(1-x)\;$在$0<x\leq {\frac {1}{2}}$的凹性，套用延森不等式，这样得到一个简单的证明。这证明可以直接推广至不等式的加权形式：

${\frac {\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{\gamma _{i}}}{\prod _{i=1}^{n}\left(1-x_{i}\right)^{\gamma _{i}}}}\leq {\frac {\sum _{i=1}^{n}\gamma _{i}x_{i}}{\sum _{i=1}^{n}\gamma _{i}\left(1-x_{i}\right)}}$，

其中$\gamma _{i}\geq 0$，$\sum _{i=1}^{n}\gamma _{i}=1$。

相关不等式

如果记调和平均为$H_{n}:={\frac {1}{{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}}}$，$H_{n}^{\prime }:={\frac {1}{{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{1-x_{i}}}}}$，在W. Wang, P. Wang (1984)有如下推广：

${\frac {H_{n}}{H_{n}^{\prime }}}\leq {\frac {G_{n}}{G_{n}^{\prime }}}\leq {\frac {A_{n}}{A_{n}^{\prime }}}$。

参考文献

• Horst Alzer: Verschärfung einer Ungleichung von Ky Fan. Aequationes Mathematicae 36 (1988) 246-250.
• E. F. Beckenbach, R. Bellman: Inequalities. Springer-Verlag, Berlin 1983, 引用在 Alzer (1988).
• Edward Neuman, Jósef Sándor: On the Ky Fan inequality and related inequalities I. Mathematical Inequalities & Applications. Volume 5, Number 1 (2002), 49–56.
• Edward Neuman, Jósef Sándor: On the Ky Fan inequality and related inequalities II （页面存档备份，存于互联网档案馆）. Bulletin of the Australian Mathematical Society. Volume 72, Number 1 (2005), 87-107.
• Jósef Sándor, Tiberiu Trif: A new refinement of the Ky Fan inequality. Mathematical Inequalities & Applications. Volume 2, Number 4 (1999), 529–533.
• W. Wang, P. Wang: A class of inequalities for the symmetric functions (中文) Acta Math. Sinica 27 (1984), 485-497, 引用在 Alzer (1988).