欧拉旋转定理

运动学里,欧拉旋转定理(英语:Euler's rotation theorem)表明,在三维空间里,假设一个刚体在做一个位移的时候,刚体内部至少有一点固定不动,则此位移等价于一个绕着包含那固定点的固定轴的旋转。这定理是以瑞士数学家莱昂哈德·欧拉命名。于1775年,欧拉使用简单的几何论述证明了这定理。

数学术语,在三维空间内,任何共原点的两个坐标系之间的关系,是一个绕着包含原点的固定轴的旋转。这也意味着,两个旋转矩阵的乘积还是旋转矩阵。一个不是单位矩阵旋转矩阵必有一个实值本征值,而这本征值是 1 。 对应于这本征值的本征矢量就是旋转所环绕的固定轴[1]

应用

旋转生成元

假设单位矢量   是旋转的瞬时固定轴,绕着这固定轴,旋转微小角值   ,则取至   的一次方,旋转矩阵可以表达为:

 

绕着固定轴做一个   角值的旋转,可以被视为许多绕着同样固定轴的接连不断的微小旋转,每一个小旋转的角值为   。让   趋向无穷大,则绕着固定轴   角值的旋转,可以表达为

 

欧拉旋转定理基要地阐明,所有的旋转都能以这形式来表达。乘积   是这个旋转的生成元。用生成元来分析,而不用整个旋转矩阵,通常是较简易的方法。用生成元来分析的学术领域,称为旋转群的李代数

四元数

根据欧拉旋转定理,任何两个坐标系的相对定向,可以由一组四个数字来设定;其中三个数字是方向余弦,用来设定特征矢量(固定轴);第四个数字是绕着固定轴旋转的角值。这样四个数字的一组称为四元数

如上所描述的四元数,并不介入复数。如果四元数被用来描述二个连续的旋转,则必须使用由威廉·哈密顿提出的非交换四元数代数以复数来计算。

在航空学应用方面,通过四元数方法来计算旋转,已经替代了方向余弦方法,这是因为它能减少所需的工作,和它能减小舍入误差。在计算机图形学里,四元数与四元数之间,简易执行插值的能力是很有价值的。

参阅

参考文献

  1. ^ Goldstein, Herbert. Classical Mechanics 3rd. United States of America: Addison Wesley. 1980: pp. 155–161. ISBN 0201657023 (英语).