正则变换生成函数

哈密顿力学里,当计算正则变换时,生成函数扮演的角色,好似在两组正则坐标 之间的一座桥。为了要保证正则变换的正确性 ,采取一种间接的方法,称为生成函数方法。这两组变数必须符合方程

(1)

其中, 是旧广义坐标 是旧广义动量 是新广义坐标, 是新广义动量, 分别为旧哈密顿量与新哈密顿量,生成函数 是时间。

生成函数 的参数,除了时间以外,一半是旧的正则坐标;另一半是新的正则坐标。视选择出来不同的变数而定,一共有四种基本的生成函数。每一种基本生成函数设定一种不同的变换,从旧的一组正则坐标变换为新的一组正则坐标。这变换 保证是正则变换。

生成函数列表

生成函数 导数
   
   
   
   

第一型生成函数

第一型生成函数   只跟旧广义坐标、新广义坐标有关,

 

代入方程 (1) 。展开生成函数对于时间的全导数

 

新广义坐标   和旧广义坐标   都是自变量,其对于时间的全导数    互相无关,所以,以下   个方程都必须成立:

 (2)
 (3)
 (4)

  个方程设定了变换   ,步骤如下:

第一组的   个方程 (2) ,设定了    个函数方程

 

在理想情况下,这些方程可以逆算出    个函数方程

 (5)

第二组的   个方程 (3) ,设定了    个函数方程

 

代入函数方程 (5) ,可以算出    个函数方程

 (6)

  个函数方程 (5) 、(6) ,可以逆算出   个函数方程

 
 

代入新哈密顿量   的方程 (4) ,可以得到

 

第二型生成函数

第二型生成函数   只跟旧广义坐标   、新广义动量   有关 :

 

代入方程 (1) 。展开生成函数随时间的全导数:

 

由于旧广义坐标   与新广义动量   必须彼此无关,以下   方程必须成立:

 (7) 
 (8)
 (9)

  个方程设定了变换   。步骤如下:

第一组的   个方程 (7) ,设定了   的函数方程

 

在理想情况下,这些方程可以逆算出   的函数方程

 (10)

第二组的   个方程 (8) ,设定了的函数方程

 

代入函数方程 (10) ,可以算出   函数方程

 (11)

由函数方程 (10) 、(11) ,可以算出函数方程

 
 

代入新哈密顿量的方程 (9) ,则可得到

 

第三型生成函数

第三型生成函数只跟旧广义动量   、新广义坐标   有关:

 

以下   方程设定了变换  

 
 
 

第四型生成函数

第四型生成函数   只跟旧广义动量   、新广义动量   有关:

 

以下   方程设定了变换  

 
 
 

实例 1

第一型生成函数有一个特别简易案例:

 

方程 (2) ,(3) ,(4) 的答案分别为

 
 
 

实例 2

再举一个涉及第二型生成函数,比较复杂的例子。让

 

这里,   是一组   个函数。

答案是一个广义坐标的点变换,

 

实例 3

有时候,可以将一个给定的哈密顿量,变成一个很像谐振子的哈密顿量,

 

例如,假若哈密顿量为

 (12)

这里,  是广义动量,  是广义坐标。

一个优良的正则变换选择是

 (13)
 (14)

代入方程 (12) ,新哈密顿量的形式与谐振子的哈密顿量型式相同:

 

这变换用的是第三型生成函数   ;其对于   的导数是

 

代入方程 (13) 、(14) ,

 

对于   积分,可以得到生成函数  

 

最后,检查答案是否正确:

 

参阅

参考文献