叙述
设 为一个测度空间, 是一个实值的可测正值函数列。那么:
-
其中的函数极限是在逐点收敛的意义上的极限,函数的取值和积分可以是无穷大。
证明
定理的证明基于单调收敛定理(非常容易证明)。设 为函数列 的下极限。对每个正整数 ,逐点定义下极限函数:
-
于是函数列 单调递增并趋于 。
任意 ,我们有 ,因此
-
于是
-
据此,由单调收敛定理以及下极限的定义,就有:
-
反向法图引理
推广
推广到任意实值函数
法图引理不仅对取正值的函数列成立,在一定限制条件下,可以扩展到任意的实值函数。令 为测度空间 中的一列可测函数,函数的值域为扩展实数(包括无穷大)。如果存在一个在 上可积的正值函数 ,使得对所有的 都有 ,那么
证明:对函数列 应用法图引理即可。
逐点收敛
在以上的条件下,如果函数列在 上μ-几乎处处逐点收敛到一个函数 ,那么
-
证明: 是函数列的极限,因此自然是下极限。此外,零测集上的差异对于积分值没有影响。
依测度收敛
如果函数列在 上依测度收敛到 ,那么上面的命题仍然成立。
证明:存在 的一个子列使得
-
这个子列仍然依测度收敛到 ,于是又存在这个子列的一个子列在 上μ-几乎处处逐点收敛到 ,于是命题成立。
外部链接
参考来源
- H.L. Royden, "Real Analysis", Prentice Hall, 1988.