泛函(functional)指以函数构成的向量空间定义域,以实数或复数域为值域的“函数”,即某一个依赖于其它一个或者几个函数确定其值的量,往往被称为“函数的函数”。在泛函分析中,泛函也用来指一个从任意向量空间到标量域的映射。泛函中的一类特例线性泛函引发了对对偶空间的研究。泛函的应用可以追溯到变分法,其中通常需要寻找一个函数用来最小化某个特定泛函。在物理学上,寻找某个能量泛函的最小系统状态是泛函的一个重要应用。

弧长泛函以可求长曲线组成的向量空间(的一个子集)为定义域,以实标量为输出值。这是一个非线性泛函的例子。
黎曼积分是以从的黎曼可积函数组成的向量空间为定义域的线性泛函

是由一些函数构成的集合。所谓上的泛函就是上的一个实值函数。称为该泛函的容许函数集

函数的变换某种程度上是更一般的概念,参见算子

例子

设在 xOy 平面上有一簇曲线  , 其长度为 

显然, 不同,  也不同,即 的数值依赖于整个函数  而改变。   和函数   之间的这种依赖关系就称为泛函关系。

性质

对偶性

观察映射

 

是一个函数,在这里, 是函数f的自变量。

同时,将函数映射至一个点的函数值

 

是一个泛函,在此 是一个参数

只要   是一个从向量空间至一个布于实数的的线性转换,上述的线性映射彼此对偶,那么在泛函分析上,这两者都称作线性泛函。

参见

参考资料