组合
以非排序的形式，从集合中选取元素的方式
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在组合数学，一个集的元素的组合（英语：Combination）是一个子集。S的一个k-组合是S的一个有k个元素的子集。若两个子集的元素完全相同并顺序相异，它仍视为同一个组合，这是组合和排列不同之处。
表示方式
从 n 个不同元素中取出 k 个元素的所有不同组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 k 个元素的组合数，记做： 、 、 、 （英语）、 （法语、罗马尼亚语、俄语、汉语（中国）[1]、波兰语）。
理论与公式
从 个元素中取出 个元素， 个元素的组合数量为：
以六合彩为例。在六合彩中从49颗球中取出6颗球的组合数量为：
在集合中取出k项元素
重复组合理论与公式
从 个元素中取出 个元素， 个元素可以重复出现，这组合数量为：
以取色球为例，每种颜色的球有无限多颗，从8种色球中取出5颗球，好比是在5颗球间画上分隔号“|”代表球色的分布情形。例如第1种色球取1颗，第2种色球取2颗，第3种色球取2颗可以表示成：
- 球|球球|球球| | | | |
可以理解为8类球每类取多少个，一起构成5个球。我们把5个球排成一排，用7个分隔线去隔开。如上图，表示含义：第1根线前表示第一类球取的个数，第1根和第2根线表示第二类球取的个数...第6第7根线前表示第七类球的个数，第7根后表示第八类球的个数。亦即问题是从(5+8-1)个位置中挑选出(8-1)个位置摆分隔号，这组合数量为：
因为组合数量公式特性，重复组合转换成组合有另一种公式为：
另外 也可以记为 [2]或
取值范围的扩充[3]
在 的定义中，由于它有意义的范围必须是满足条件 ，所以其他范围必须另外定义，我们有:
演算范例
组合 C
循环法
/***********************/
/** This is C++ code. **/
/** Comb Example **/
/***********************/
#include <iostream>
using namespace std;
bool next_comb(int* comb, const int n, const int k) {
int i = k - 1;
const int e = n - k;
do
comb[i]++;
while (comb[i] > e + i && i--);
if (comb[0] > e)
return 0;
while (++i < k)
comb[i] = comb[i - 1] + 1;
return 1;
}
int main() {
int n, k;
cout << "comb(n,k):" << endl;
cin >> n >> k;
if (n < k || k <= 0)
return 0;
int* comb = new int[k];
for (int i = 0; i < k; i++)
comb[i] = i;
do
for (int i = 0; i < k; cout << ((++i < k) ? ',' : '\n'))
cout << comb[i] + 1;
while (next_comb(comb, n, k));
delete[] comb;
return 0;
}
递回法
#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
namespace comb {
int n, k;
int arr[12];
int count;
bool arrsame(int site) {
if (site > 0 && arr[site - 1] >= arr[site])
return 0;
return 1;
}
inline void arrprint() {
for (int i = 0; i < k; i++)
printf("%3d", arr[i]);
puts("");
count++;
}
void calculate(int now) {
if (now == k) {
arrprint();
return;
}
for (int i = 0; i < n; i++) {
arr[now] = i;
if (arrsame(now)) {
calculate(now + 1);
}
}
}
inline void run(int nn, int kk) {
n = nn, k = kk;
count = 0;
if (k < 12 && n >= k && k > 0)
calculate(0);
if (count)
printf("\n%d combination.\n\n", count);
else
puts("Input error!");
}
}
int main() {
int n, k;
while (scanf("%d%d", &n, &k) != EOF) {
comb::run(n, k);
fflush(stdout);
}
return 0;
}
重复组合 H
循环法
/***********************/
/** This is C++ code. **/
/** ReComb Example **/
/***********************/
#include <iostream>
using namespace std;
bool next_re_comb(int* recomb, const int n, const int k) {
int i = k - 1;
do
recomb[i]++;
while (recomb[i] > n - 1 && i--);
if (recomb[0] > n - 1)
return 0;
while (++i < k)
recomb[i] = recomb[i - 1];
return 1;
}
int main() {
int n, k;
cout << "recomb(n,k):" << endl;
cin >> n >> k;
if (n <= 0 || k <= 0)
return 0;
int* recomb = new int[k];
for (int i = 0; i < k; i++)
recomb[i] = 0;
do
for (int i = 0; i < k; cout << ((++i < k) ? ',' : '\n'))
cout << recomb[i] + 1;
while (next_re_comb(recomb, n, k));
delete[] recomb;
return 0;
}
递回法
#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
namespace re_comb {
int n, k;
int arr[12];
int count;
bool arrsame(int site) {
if (site > 0 && arr[site - 1] > arr[site])
return 0;
return 1;
}
inline void arrprint() {
for (int i = 0; i < k; i++)
printf("%3d", arr[i]);
puts("");
count++;
}
void calculate(int now) {
if (now == k) {
arrprint();
return;
}
for (int i = 0; i < n; i++) {
arr[now] = i;
if (arrsame(now)) {
calculate(now + 1);
}
}
}
inline void run(int nn, int kk) {
n = nn, k = kk;
count = 0;
if (k < 12 && k > 0)
calculate(0);
if (count)
printf("\n%d combination.\n\n", count);
else
puts("Input error!");
}
}
int main() {
int n, k;
while (scanf("%d%d", &n, &k) != EOF) {
re_comb::run(n, k);
fflush(stdout);
}
return 0;
}
推广
组合数可以推广到多分类的情形 ，我们将n个物品分为m份，每份的个数分别为: 个，那么，总的分类数为
参见
参考文献
- ^ 普通高中教科书 数学 选择性必修第三册（A版）. 北京市海淀区中关村南大街17号院1号楼: 人民教育出版社. : 23 [2024-03-30]. ISBN 978-7-107-34598-2.
- ^ 組合數學 ─算法與分析─. 九章出版社. : 33. OCLC:44527392
- ^ 3.0 3.1 組合數學 ─算法與分析─. 九章出版社. : 33. OCLC:44527392