薛定谔绘景

量子力学表述

薛定谔绘景(Schrödinger picture)是量子力学的一种表述,为纪念物理学者埃尔温·薛定谔而命名。在薛定谔绘景里,量子系统的态矢量随着时间流易而演化,而像位置自旋一类的对应于可观察量算符则与时间无关。

埃尔温·薛定谔

薛定谔绘景与海森堡绘景狄拉克绘景不同。在海森堡绘景里,对应于可观察量算符会随着时间流易而演化,而描述量子系统的态矢量则与时间无关。在狄拉克绘景里,态矢量与算符都会随着时间流易而演化。

这三种绘景殊途同归,所获得的结果完全一致。这是必然的,因为它们都是在表达同样的物理现象。[1]:80-84[2][3]

在薛定谔绘景里,负责时间演化的算符是一种幺正算符,称为时间演化算符。假设时间从流易到,而经过这段时间间隔,态矢量演化为态矢量,这时间演化过程以方程表示为

其中,是时间演化算符。

假设系统的哈密顿量不含时,则时间演化算符为

其中,约化普朗克常数指数函数必须通过其泰勒级数计算。

在初级量子力学教科书里,时常会使用薛定谔绘景。[4]:第2章第25页

时间演化算符

定义

时间演化算符 定义为

 

其中,右矢 表示时间为 的态矢量, 是时间演化算符,从时间 演化到时间 

这方程可以做这样解释:将时间演化算符 作用于时间是 的态矢量 ,则会得到时间是 的态矢量 

类似地,也可以用左矢 来定义:

 

其中,算符 是算符 厄米共轭

性质

幺正性

由于态矢量必须满足归一条件,态矢量的范数不能随时间而变:[1]:66-69

 

可是,

 

所以,

  ;

其中, 单位算符

单位性

时间演化算符 必须是单位算符 ,因为,[1]:66-69

 

闭包性

从初始时间 到最后时间 的时间演化算符,可以视为从中途时间 到最后时间 的时间演化算符,乘以从初始时间 到中途时间 的时间演化算符[1]:66-69

 

根据时间演化算符的定义,

 
 

所以,

 

可是,再根据定义,

 

所以,时间演化算符必须满足闭包性:

 

时间演化算符的微分方程

为了方便起见,设定 ,初始时间 永远是 ,则可忽略时间演化算符的 参数,改写为 含时薛定谔方程[1]:68-73

 

其中, 是哈密顿量。

从时间演化算符的定义式,可以得到

 

由于 可以是任意恒定态矢量(处于 的态矢量),时间演化算符必须遵守方程

 

假若哈密顿量不含时,则这方程的解答为

 

注意到在时间 ,时间演化算符必须约化为单位算符 。由于 是算符,指数函数 必须通过其泰勒级数计算:

 

按照时间演化算符的定义,在时间 ,态矢量为

 

注意到 可以是任意态矢量。假设初始态矢量 是哈密顿量的本征态,而本征值 ,则在时间 ,态矢量为

 

这样,可以看到哈密顿量的本征态是定态,随着时间的流易,只有相位因子在进行演化。

假设,哈密顿量与时间有关,但在不同时间的哈密顿量相互对易,则时间演化算符可以写为

 

假设,哈密顿量与时间有关,而在不同时间的哈密顿量不相互对易,则时间演化算符可以写为

 

其中, 时间排序算符

必须用戴森级数英语Dyson series来表示,

 

各种绘景比较摘要

为了便利分析,位于下标的符号   分别标记海森堡绘景、相互作用绘景、薛定谔绘景。

各种绘景随着时间流易会呈现出不同的演化:[1]:86-89, 337-339

演化 海森堡绘景 相互作用绘景 薛定谔绘景
右矢 常定    
可观察量     常定
密度算符 常定    

参阅

参考文献

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 Sakurai, J. J.; Napolitano, Jim, Modern Quantum Mechanics 2nd, Addison-Wesley, 2010, ISBN 978-0805382914 
  2. ^ Parker, C.B. McGraw Hill Encyclopaedia of Physics 2nd. Mc Graw Hill. 1994: 786, 1261. ISBN 0-07-051400-3. 
  3. ^ Y. Peleg, R. Pnini, E. Zaarur, E. Hecht. Quantum mechanics. Schuam's outline series 2nd. McGraw Hill. 2010: 70. ISBN 9-780071-623582. 
  4. ^ Robert D. Klauber. Student Friendly Quantum Field Theory: Basic Principles and Quantum Electrodynamics (PDF). Sandtrove Press. 2013 [2015-12-13]. ISBN 978-0-9845139-3-2. (原始内容存档 (PDF)于2015-12-22).