费马-卡塔兰猜想

在数论上，费马－卡塔兰猜想是费马大定理与卡塔兰猜想的推广，而这猜想认为，以下的等式

$a^{m}+b^{n}=c^{k}\quad$

1

仅有有限多个$a,b,c$彼此互质，且$m,n,k$满足下列条件的解：

${\frac {1}{m}}+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{k}}<1.$

2

这个给出$m,n,k$条件的不等式是猜想的必要成分，而这是因为没有这不等式的话，这结果就会有无限多的解，像例如在$k=1$的状况下，$a^{m}+b^{n}=c$显然有无限多的解；而在$m=n=k=2$的状况下该等式就是毕达哥拉斯定理，而目前已知有无限多个毕氏三元数存在。

已知解

截至2015年为止，等式(1)已知有十个满足不等式(2)的解，而这些解如下：

$1^{m}+2^{3}=3^{2}\;$ （在$m>6$的状况下这满足不等式(2)）

$2^{5}+7^{2}=3^{4}\;$

$7^{3}+13^{2}=2^{9}\;$

$2^{7}+17^{3}=71^{2}\;$

$3^{5}+11^{4}=122^{2}\;$

$33^{8}+1549034^{2}=15613^{3}\;$

$1414^{3}+2213459^{2}=65^{7}\;$

$9262^{3}+15312283^{2}=113^{7}\;$

$17^{7}+76271^{3}=21063928^{2}\;$

$43^{8}+96222^{3}=30042907^{2}\;$

根据在普雷达·米哈伊列斯库于2002年证明的卡塔兰猜想，这些等式中的第一个，也就是$1^{m}+2^{3}=3^{2}\;$，是唯一满足$a,b,c$其中一个是1的解。尽管因为$m$可以是大于6的任意数之故，因此$1^{m}+2^{3}=3^{2}\;$等同于有无限多解，这些解只对$(a^{m},b^{n},c^{k})$这三元数给出一组解。

部分结果

根据利用了法尔廷斯定理的达尔蒙－关维定理（Darmon–Granville theorem），对于任意特定不等式(2)的三元数组$(m,n,k)$，等式(1)仅有有限解；然而完整的费马－卡塔兰猜想强于此，而这是因为完整的猜想允许$m,n,k$这三个指数项是任意数之故。

abc猜想可导出费马－卡塔兰猜想。

亦可见贝亚尔猜想一文的内容以得知已证实不可能的指数组合；而贝亚尔猜想为真，当且仅当所有的费马－卡塔兰猜想都有$m=2$、$n=2$或$k=2$。

参见

• 幂和

外部链接

• Perfect Powers: Pillai's works and their developments. Waldschmidt, M. （页面存档备份，存于互联网档案馆）