费马引理

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费马引理是实分析中的一个定理，以皮埃尔·德·费马命名。通过证明函数的每一个极值都是驻点（函数的导数在该点为零），该定理给出了一个求出可微函数的最大值和最小值的方法。因此，利用费马引理，求函数的极值的问题便化为解方程的问题。

需要注意的是，费马引理仅仅给出了函数在某个点为极值的必要条件。也就是说，有些驻点不是极值，它们是拐点。要想知道一个驻点是不是极值，并进一步区分最大值和最小值，我们需要分析二阶导数（如果它存在）。

定理

设函数f(x)在点x₀的某邻域U(x₀)内有定义，并且在x₀处可导，如果对任意的$x\in U(x_{0})$，有

$f(x)\leq f(x_{0})$或$f(x)\geq f(x_{0})$

那么$f^{\prime }(x_{0})=0$。

费马引理的一个推论是，函数f在定义域A内的最大值和最小值只能在边界上，不可导的点，或驻点取得。

证明

假设$\displaystyle x_{0}$是一个极大值（如果$\displaystyle x_{0}$是极小值，证明亦类似）。那么存在一个$\delta >0$，使得对于所有的$\displaystyle |x-x_{0}|<\delta$，都有$f(x_{0})\geq f(x)\,$。因此对于任何$h\in (0,\delta )$，有：

${\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}\leq 0.$

由于当$\displaystyle h$从上方趋于0时，这个比值的极限存在且为$\displaystyle f'(x_{0})$，我们便有$f'(x_{0})\leq 0$。另一方面，当$h\in (-\delta ,0)$时，我们注意到：

${\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}\geq 0$

当$\displaystyle h$从下方趋于0时，这个极限存在，且等于$\displaystyle f'(x_{0})$，我们又有$f'(x_{0})\geq 0$。

因此$\displaystyle f'(x_{0})=0$。

参见

• 罗尔定理
• 微分中值定理

外部链接

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