拓扑学中,闭开集(英语:Clopen set)是拓扑空间中既是开集又是闭集的集合。虽然既“开”又“闭”的定义有些反直觉,但数学上开集与闭集的定义并不互斥

如同拓扑学家詹姆士·雷蒙·芒克勒斯在他的书中所描述的,集合不同的是,“集合可以是打开的(open),也可以是阖上的(closed),或者既打开又阖上,又或是既不打开又不阖上!”[1]强调现实中门的开闭与集合的开闭定义无关。


例子

  • 对任何拓扑空间 空集和整个空间 都是闭开集,有时称它们为平凡闭开集。
  • 存在非平凡闭开集。例如,离散空间的任意子集都是闭开集。
  • 考虑由两个区间  的并集构成的空间 。在 上的拓扑是从实直线 上的正常拓扑继承来的子空间拓扑。在 中,集合  都是闭开集。这是非常典型的例子:只要空间是由有限数目个不相交连通单元以这种方式构成的,这些单元就是闭开集。
  • 不太常见的例子,考虑所有有理数的空间 带有它们的正常拓扑,和平方大于2的所有正有理数的集合 。利用 不在 中的事实,可以非常容易的证明  的闭开子集。(还要注意 不是实直线 的闭开子集;它在 中既不是开集也不是闭集。)

性质

  • 拓扑空间 连通当且仅当 中仅有的闭开集是空集和 本身。
  • 集合是闭开集,当且仅当它的边界是空的。
  • 任何闭开集是(可以无限多)连通单元并集,它的逆命题不成立,因为连通单元一般不是开集。
  • 如果 的所有连通单元是开集(例如,如果 只有有限多个单元,或者 局部连通的),则集合是 中的闭开集,当且仅当它可以表示为连通单元的并集。
  • 拓扑空间 离散的,当且仅当所有它的子集都是闭开集。
  • 使用并集交集作为运算,给定拓扑空间 的闭开子集形成一个布尔代数。“所有”布尔代数都可以按这种方式从适合的拓扑空间获得:参见Stone布尔代数表示定理

参见

注解

  1. ^ James R. Munkres. Topology (second edition). United States of America: Pearson. 2017-03-10: 93. ISBN 9780134689517 (英语). 

参考文献

  • James R. Munkres