韦达定理

数学中给出多项式方程的根与系数的关系的公式

数学上,韦达定理(英语:Vieta's formulas),又称根与系数的关系,给出了多项式方程系数的关系。该定理由法国数学家弗朗索瓦·韦达发现,并因此得名。

韦达定理常用于代数领域。它的实用之处在于,能够不用把根直接解出来就能计算根之间的关系。

内容

  是一个一元 n 次(或)系数多项式,首项系数  ,令 P 的 n 个根为  ,则根  和系数  之间满足关系式

 

等价的说,对任何 k = 1, 2, ..., n,系数比   是所有任取 k 个根的乘积的和的   倍,即

 
或:
 

其中   是要让所有的根的组合都恰好出现一次。

事实上,等号的左边被称作是初等对称多项式

证明

因为   是一元 n 次多项式   的 n 个根。于是有

 

根据乘法原理展开右式,比较等号两边的各项系数可得

 

上式等同于韦达定理的叙述。

特例

n=2

  是一元二次多项式   的两根,则由 

 

这个特殊情况除之前提到的证明方法,也可以直接用求根公式  证明:

 
 

在这个情况下,韦达定理的逆定理同样成立:给定一个一元二次多项式  ,如果有两个数  ,满足   ,则  就是多项式 的两根。

n=3

  是一元三次多项式   的三根,则

 

推广至环

韦达定理经常使用在讨论整环 R 上多项式,换言之多项式系数都落在 R 上。此时,分数   在 R 中不见得有定义,除非   本身是可逆元。但   在 R 的分式环 K 中有定义,而根   则在 K 的代数闭包   中有定义。特别的,如果 R 是整数环  ,则 K 是有理数域   复数域  

如果多项式 P(x) 定义在一般非整环的交换环上,则韦达定理可能在两个地方出错。第一,  可能不是零因子,因此不能出现在分母。第二 P(x) 可能不等于  。第一点算是显而易见,以下给出一个第二点的例子。在环   中,多项式   有四个根 1、3、5、7,根数比多项式的次数还多。此外,如果随便取两根出来,例如   ,会发现  ,但是有时候如果根取的刚好,却又可能会有   

历史

在 16 世纪,韦达发现了所有根都是正整数的版本,至于一般的版本 (根是实数),可能首次由法国数学家 Albert Girard英语Albert Girard 提出。Funkhouser 引用了18 世纪英国数学家查尔斯·赫顿英语Charles Hutton的话写道[1]

...[Girard 是] 理解关于各次方项系数的和与积公式的一般性学说的第一人。他是找到关于将任意方程式的根的次方加总的规则的第一人。

参考资料

  • Djukić, Dušan; et al, The IMO compendium: a collection of problems suggested for the International Mathematical Olympiads, 1959–2004, Springer, New York, NY, 2006, ISBN 0-387-24299-6 

参见