高斯常数符号为G,是1和根号2之算术-几何平均数的倒数:
高斯常数|
种类 | 无理数 超越数 |
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发现 | 卡尔·弗里德里希·高斯 |
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符号 | ![{\displaystyle G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b) |
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位数数列编号 | A014549 |
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定义 | ![{\displaystyle G={\frac {1}{\mathrm {agm} (1,{\sqrt {2}})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/275e66dd6d8763e0d84ba3818b737cdcca89239a) |
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连分数 | [0; 1, 5, 21, 3, 4, 14, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 15, 1, 3, 8, 36...](OEIS数列A053002) |
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值 | 0.8346268 |
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二进制 | 0.110101011010101000011010… |
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八进制 | 0.653250326325523207665422… |
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十进制 | 0.834626841674073186281429… |
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十六进制 | 0.D5AA1ACD5A9A1F6B126ED416… |
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![{\displaystyle G={\frac {1}{\mathrm {agm} (1,{\sqrt {2}})}}=0.8346268\dots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e585f2cba99b5888363b68ad267a532f1a1553d)
此数学常数得名自卡尔·弗里德里希·高斯,他在1799年5月30日发现
![{\displaystyle G={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{4}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ce994f6c6a794b21fa039db0523babea96a7997)
因此
![{\displaystyle G={\frac {1}{2\pi }}B({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{2}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ae1d745aed081b8c433c9de9a6c7cfd23670bc1)
其中B为贝塔函数。
和其他常数的关系
高斯常数常用来表示 的数值。
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换句话说
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因为 和 互相代数独立,且 为无理数,因此高斯常数为超越数。
Lemniscate常数
高斯常数常用来定义lemniscate常数,第一lemniscate常数为:
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第二lemniscate常数为:
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在计算伯努利双纽线的弧长时会出现这些常数。
其他公式
以下是一个用Θ函数定义高斯常数的公式
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也可以用以下快速收敛的级数表示
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高斯常数也可以用无穷乘积表示:
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在以下的定积分中也有高斯常数
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高斯常数的连分数为[0, 1, 5, 21, 3, 4, 14, ...]. (OEIS数列A053002)
相关条目
参考资料