九點圓定理

九點圓定理指出:在平面中,對所有三角形,其三邊的中點、三高的垂足、頂點垂心的三條線段的中點,必然共圓,這個圓被稱為九點圓,又稱歐拉圓費爾巴哈圓

九點圓

九點圓具有以下性質:

  • 九點圓的半徑外接圓的一半。
  • 圓心歐拉線上,且在垂心外心的線段的中點。
  • 九點圓和三角形的內切圓旁切圓相切(費爾巴哈定理)。
  • 圓周上四點任取三點做三角形,四個三角形的九點圓圓心共圓(柯立芝-大上定理)[來源請求]

歷史

1765年,萊昂哈德·歐拉證明:「垂心三角形和垂足三角形有共同的外接圓(六點圓)。」許多人誤以為九點圓是由歐拉發現所以又稱乎此圓為歐拉圓。而第一個證明九點圓的人是彭賽列(1821年)。1822年,卡爾·威廉·費爾巴哈也發現了九點圓,並得出「九點圓和三角形的內切圓旁切圓相切」,因此德國人稱此圓為費爾巴哈圓,並稱這四個切點費爾巴哈點柯立芝與大上茂喬(Shigetaka Ooue)[1]分別於1910年與1916年發表「圓周上四點任取三點做三角形,四個三角形的九點圓圓心共圓。」這個圓還被稱為四邊形的九點圓,此結果還可推廣到n邊形。

九點圓證明

 

如圖:   為三邊的中點,   為垂足,   為和頂點到垂心的三條線段的中點。

  • 容易得出   相似)
  • 因此 
  • 同樣可得出   相似)
  • 因此 
  •  ,可得出四邊形 矩形(四點共圓)
  • 同理可證 也是矩形( 共圓)
  •  ,因此可知 也在圓上(圓周角相等)
  • 同理可證  兩點也在圓上(九點共圓)

性質證明

 

九點圓的半徑是外接圓的一半,且九點圓平分垂心與外接圓上的任一點的連線。

  • 直角坐標系中,已知的方程為 ,其中 為圓的半徑, 為圓的圓心坐標。若做圓上三點與點 的中點的軌跡,則此軌跡的方程式為:
 
  •  為外接圓的半徑、 為外接圓的圓心坐標、點 為垂心坐標。
  • 已知九點圓通過頂點到垂心的三條線段的中點,故此軌跡圓就是九點圓,半徑是外接圓的一半,且平分垂心與外接圓上的任一點的連線。
  • 同時還可以得出下面的性質:
  • 圓心在歐拉線上,且在垂心到外心的線段的中點。由此可知,給定三角形頂點座標,九點圓圓心為

 

 
  • 圓周上四點任取三點做三角形,四個三角形的九點圓圓心共圓。

其他

  • 垂心四面體的12點共球九點圓是垂心四面體各棱的中點和垂足(相對於對棱)共球的特例,兩者是同構的
  • 主旁心三角形的九點圓是三角形的外接圓
  • 中點三角形的外接圓是三角形的九點圓
  • 三線坐標中,九點圓的座標為 
  • 三線坐標中,費爾巴哈點的座標為 

參見條目

參考資料

  1. ^ Ôue, Shigetaka. A geometrical use of complex numbers. Tohoku Mathematical Journal, First Series. 1916, 10: 225–228 [2024-03-27]. (原始內容存檔於2024-03-27).