二次方程式

二次方程式是一種整式方程式，主要特點是未知項的最高次數是2，其中最常見的是一元二次方程式^[1]。

一元二次方程式

方程式的一般形式

一元二次方程式是指只含有一個未知數的二次方程式，它的一般形式為： $ax^{2}+bx+c=0\,$ ，其中 $a\neq 0$ 。 $ax^{2}\,$ 為方程式的二次項， $a\,$ 為方程式的二次項係數； $bx\,$ 為一次項， $b\,$ 為一次項係數； $c\,$ 為常數項。若 $a=0\,$ ，則該方程式沒有二次項，即退變為一元一次方程式。

求根公式

■

y={\frac {3}{2}}x^{2}+{\frac {1}{2}}x-{\frac {4}{3}}\,

■

y=-{\frac {4}{3}}x^{2}+{\frac {4}{3}}x+{\frac {1}{3}}\,

■

y=x^{2}+{\frac {1}{2}}\,

一元二次方程式根的判別式為 $\Delta =b^{2}-4ac\,$ 。

若 $\Delta >0\,$ ，則該方程式有兩個不相等的實數根： $x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\,$ ；

若 $\Delta =0\,$ ，則該方程式有兩個相等的實數根： $x_{1,2}=-{\frac {b}{2a}}\,$ ；

若 $\Delta <0\,$ ，則該方程式有一對共軛複數根： $x_{1,2}={\frac {-b\pm i{\sqrt {4ac-b^{2}}}}{2a}}\,$ 。

由上可知，在實數範圍內求解一元二次方程式，當 $\Delta \geq 0\,$ 時，方程式纔有根（有兩個不等實數根或兩個相等實數根）；當 $\Delta <0\,$ 時，方程式有兩個複數根，但是在實數範圍無解。

根與係數的關係

設 $x_{1}\,$ ， $x_{2}\,$ 是一元二次方程式 $ax^{2}+bx+c=0\,$ （ $a\neq 0\,$ ）的兩根，則

兩根之和： $x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}}$

兩根之積： $x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}$

求根公式的由來

中亞細亞的花拉子米 (約780-約850) 在公元820年左右出版了《代數學》。書中給出了一元二次方程式的求根公式，並把方程式的未知數叫做「根」，其後譯成拉丁文radix。

我們通常把 $x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$ 稱之為 $ax^{2}+bx+c=0\,$ 的求根公式：

${\begin{aligned}ax^{2}+bx+c&=0\\x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}&=0\\x^{2}+{\frac {b}{a}}x+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}-\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {c}{a}}&=0\\\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}+{\frac {c}{a}}&=0\\\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}&={\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}}\\\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}&={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}\\x+{\frac {b}{2a}}&={\frac {\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\\x&={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\end{aligned}}$

或不將 $x^{2}$ 係數化為1：

${\begin{aligned}ax^{2}+bx+c&=0\\ax^{2}+bx+\left({\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}\right)^{2}&=\left({\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}\right)^{2}-c\\\left(x{\sqrt {a}}+{\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}\right)^{2}&=\left({\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}\right)^{2}-c\\x{\sqrt {a}}+{\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}&=\pm {\sqrt {\left({\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}\right)^{2}-c}}\\x{\sqrt {a}}+{\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}&=\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{4a}}-c}}\\x+{\frac {b}{2a}}&=\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}}}}\\x+{\frac {b}{2a}}&=\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {4ac}{4a^{2}}}}}\\x&=-{\frac {b}{2a}}\pm {\sqrt {\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}}\\x&={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\end{aligned}}$

對應函數的極值

設 $y=ax^{2}+bx+c\,$ （ $a\neq 0\,$ ），
對 $x\,$ 求導，得

{\frac {\mathop {\mbox{d}} y}{\mathop {\mbox{d}} x}}=2ax+b

令 ${\frac {\mathop {\mbox{d}} y}{\mathop {\mbox{d}} x}}=0$ ，得

{\begin{aligned}x&=-{\frac {b}{2a}}\end{aligned}}

即為 $y\,$ 的極值點，該式亦為函數圖形（即拋物線）的對稱軸方程式。將 $x=-{\frac {b}{2a}}$ 代入 $y\,$ ，可得

{\begin{aligned}y&=-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}\end{aligned}}

即為 $y\,$ 的極值。

根據函數取極值的充分條件，即：
$f''(x)<0\,$ ， $x\,$ 是 $f(x)\,$ 的極大值點，
$f''(x)>0\,$ ， $x\,$ 是 $f(x)\,$ 的極小值點；
由 ${\frac {\mathop {\mbox{d}} ^{2}y}{\mathop {\mbox{d}} x^{2}}}=2a$ ，可知：
當 $a<0\,$ 時（拋物線開口向下）， $x=-{\frac {b}{2a}}$ 為 $y\,$ 的極大值點；
當 $a>0\,$ 時（拋物線開口向上）， $x=-{\frac {b}{2a}}$ 為 $y\,$ 的極小值點。

參見

參考

^ 一般二次方程的讨论. [2012-12-29]. （原始內容存檔於2019-07-24）. （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

[1] 一般二次方程的讨论. [2012-12-29]. （原始內容存檔於2019-07-24）. （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

[1]