交換律
交換律（英語：Commutative property）是被普遍使用的一個數學名詞，意指能改變某物的順序而不改變其最終結果。交換律是大多數數學分支中的基本性質，而且許多的數學證明需要倚靠交換律。簡單運算的交換律許久都被假定存在，且沒有給定其一特定的名稱，直到19世紀，數學家開始形式化數學理論之後，交換律才得到正式的定義[1][2]。
一般用法
交換律是一個和二元運算及函數有關的性質。而若交換律對一特定二元運算下的一對元素成立，則稱這兩個元素為在此運算下是「可交換」的。
在群論和集合論中，許多的代數結構被稱做是可交換的，若其中的運算域滿足交換律。在數學分析和線性代數中，一些知名的運算（如實數及複數上的加法和乘法）的交換律會經常被用於（或假定存在於）證明之中。[3][4][5]
數學定義
- 一個不滿足上述性質的運算則稱之為「不可交換」的。
2. 若稱 在 下和 「可交換」，即表示：
3. 一二元函數 被稱之為「可交換」的，若：
- .
歷史
對交換律假定存在的應用早在很久之前便已有所記戴。埃及人用乘法的交換律來簡化乘積的計算。[8][9]且知歐幾里得在《幾何原本》中已有假定了乘法交換律的存在。[10]對交換律形式上的應用產生於18世紀末19世紀初，那時數學家開始在研究函數的理論。今日，交換律已被普遍認知，且在大多數的數學分支中被當做基本性質來使用。交換律的簡易版本通常會在初等數學教程中被教導。
第一個使用「可交換（commutative）」一詞的是 Francois Servois 於1814年寫下的筆記[11][12]，這一詞在筆記中被用來指有著現在稱之為交換律的函數。這一詞首次出現於英語中的是在1844年的英國皇家學會哲學彙刊中。[11]
相關性質
結合律
結合律和交換律密切相關著。結合律是指運算的順序並不會影響其最終結果。相對地，交換律則是指運算元的順序不會影響其最終結果的性質。
對稱
對稱可以和交換律有直接的關連。若將一個可交換運算子寫成一個二元函數，則此一函數會對 這條線對稱。舉例來說，若設一函數 來表示加法（一可交換運算），所以 ，也因此 會是個如右圖所見的對稱函數。
例子
日常生活中的可交換運算
- 洗一雙鞋子可類比為一可交換運算，因為不論是左邊的鞋子先洗，還是右邊的鞋子先洗，最終的結果（兩隻鞋子都洗好）是一樣的。
- 成語「朝三暮四」也可看做是可交換運算的一個例子。
數學中的可交換運算
兩個廣為人知的可交換二元運算的例子為[6]：
- 例如， ，兩個表示式都等於 9 。
- 例如， ，兩者都等於 15 。
日常生活中的不可交換運算
- 洗衣和乾衣可類比成不可交換運算，因為先乾衣再洗衣和先洗衣再乾衣兩者會得出很不同的結果來。
- 魔術方塊是不可交換的。例如，將正面順時針扭轉，頂面順時針扭轉，再將正面逆時針扭轉（FUF'），並不會得出如將正面順時針扭轉，再將正面逆時針扭轉，最後再將頂面順時針扭轉（FF'U）一樣的結果。扭轉是不可交換的。這些扭轉被研究於群論中。
數學中的不可交換運算
一些不可交換二元運算[13]有：
數學結構與交換律
註記
- ^ Cabillón & Miller，Commutative and Distributive
- ^ Flood, Raymond; Rice, Adrian; Wilson, Robin (編). Mathematics in Victorian Britain. Oxford University Press. 2011: 4 [2021-07-13]. ISBN 9780191627941. （原始內容存檔於2021-07-13）.
- ^ Axler, p.2
- ^ 4.0 4.1 Gallian, p.34
- ^ p. 26,87
- ^ 6.0 6.1 Krowne, p.1
- ^ Weisstein, Commute, p.1
- ^ Lumpkin, p.11
- ^ Gay and Shute, p.?
- ^ O'Conner and Robertson, Real Numbers
- ^ 11.0 11.1 Cabillón and Miller, Commutative and Distributive
- ^ O'Conner and Robertson, Servois
- ^ Yark, p.1
- ^ Gallian p.236
- ^ Gallian p.250
- ^ Gallian p.65
參考資料
書籍
- Axler, Sheldon. Linear Algebra Done Right, 2e. Springer. 1997. ISBN 978-0-387-98258-8.
- Abstract algebra theory. Covers commutativity in that context. Uses property throughout book.
- Goodman, Frederick. Algebra: Abstract and Concrete, Stressing Symmetry, 2e. Prentice Hall. 2003. ISBN 978-0-13-067342-8.
- Abstract algebra theory. Uses commutativity property throughout book.
- Gallian, Joseph. Contemporary Abstract Algebra, 6e. 2006. ISBN 978-0-618-51471-7.
- Linear algebra theory. Explains commutativity in chapter 1, uses it throughout.
文章
- https://web.archive.org/web/20080228100512/http://www.ethnomath.org/resources/lumpkin1997.pdf Lumpkin, B. (1997). The Mathematical Legacy Of Ancient Egypt - A Response To Robert Palter. Unpublished manuscript.
- Article describing the mathematical ability of ancient civilizations.
- Robins, R. Gay, and Charles C. D. Shute. 1987. The Rhind Mathematical Papyrus: An Ancient Egyptian Text. London: British Museum Publications Limited. ISBN 978-0-7141-0944-2
- Translation and interpretation of the Rhind Mathematical Papyrus.
線上資源
- Hazewinkel, Michiel (編), Commutativity, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
- Krowne, Aaron, Commutative at PlanetMath., Accessed 2007-08-08.
- Definition of commutativity and examples of commutative operations
- 埃里克·韋斯坦因. Commute. MathWorld., Accessed 2007-08-08.
- Explanation of the term commute
- Yark. [2008-02-21]. （原始內容存檔於2010-11-26）. Examples of non-commutative operations at PlanetMath., Accessed 2007-08-08
- Examples proving some noncommutative operations
- O'Conner, J.J.; Robertson, E.F. History of real numbers. MacTutor. [2007-08-08]. （原始內容存檔於2009-09-18）.
- Article giving the history of the real numbers
- Cabillón, Julio; Miller, Jeff. Earliest Known Uses Of Mathematical Terms. [2008-11-22]. （原始內容存檔於2011-05-01）.
- Page covering the earliest uses of mathematical terms
- O'Conner, J.J.; Robertson, E.F. biography of François Servois. MacTutor. [2007-08-08]. （原始內容存檔於2009-09-02）.
- Biography of Francois Servois, who first used the term